Questão 16. Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de duas integrais diferentes. A primeira é o integral definido
e a segunda é o integral indefinido
Para resolver a primeira usaremos substituição trigonométrica, e para a segunda faremos completar o quadrado no denominador seguido de decomposição em termos mais simples.
Passo 2
Vamos calcular
Faça a substituição
e note que quando
temos
, e quando
temos
. Assim
Passo 3
O integral
é a definição de
, ou seja
Avaliação de
a
dá
Passo 4
Agora calculemos
Primeiro complete o quadrado no denominador:
Defina
, então
e
Logo
Passo 5
Separe em três parcelas:
Passo 6
Integre cada termo:
-
-
. Faça , , obtendo
-
é uma fórmula padrão, cujo resultado é
Somando tudo,
Passo 7
Volte à variável
, lembrando que
e
. Assim