Questão 17. Calcule \int f(x) d x onde f é dada abaixo:
f(x)=\frac{1}{x^{3}+2 x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int f(x)\,dx
onde
f(x)=\frac{1}{x^{3}+2x^{2}+x}.
O conteúdo principal é integração de função racional. Para resolver, vamos fatorar o denominador e usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{3}+2x^{2}+x = x\,(x^{2}+2x+1) = x\,(x+1)^{2}.
Logo podemos escrever
\frac{1}{x(x+1)^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por x(x+1)^{2}, obtemos
1 = A\,(x+1)^{2} + B\,x\,(x+1) + C\,x.

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A(x+1)^{2} + Bx(x+1) + Cx = A(x^{2}+2x+1) + B(x^{2}+x) + Cx = (A+B)\,x^{2} + (2A+B+C)\,x + A.
Comparando coeficientes com 1 = 0\cdot x^{2} + 0\cdot x + 1\), vem \[\begin{cases} A + B = 0,\\\\ 2A + B + C = 0,\\\ A = 1. \end{cases}
Daí A=1\], \(B=-1, C=-1.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int \frac{1}{x(x+1)^{2}}\,dx = \int\Bigl(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^{2}}\Bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert, \qquad \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln\lvert x+1\rvert,
\int \frac{1}{(x+1)^{2}}\,dx = \int (x+1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x+1}.
Portanto
\int f(x)\,dx = \ln\lvert x\rvert - \ln\lvert x+1\rvert -\Bigl(-\frac{1}{x+1}\Bigr) + C = \ln\bigl\lvert \tfrac{x}{x+1}\bigr\rvert + \frac{1}{x+1} + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{dx}{x^{3}+2x^{2}+x} = \ln\bigl\lvert \tfrac{x}{x+1}\bigr\rvert + \frac{1}{x+1} + C. }

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