Questão 16 - No instante \mathrm{t}=10 \mathrm{~s}, a velocidade de uma partícula em movimento no plano \mathrm{x}-\mathrm{y} é \mathrm{v}=0,1 \hat{i}+2 \hat{j} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. No instante \mathrm{t}=10,1 \mathrm{~s}, sua velocidade se torna -0,1 \hat{i}+1,8 \hat{j} \mathrm{m} / \mathrm{s}. Determine a magnitude de sua aceleração média \mathrm{a}_{a v} durante esse intervalo e o ângulo formado pela aceleração média com o eixo x positivo.

Passo 1

Dados e o que se pede.\n
  • No instante \mathrm{t}=10\\ \mathrm{s} a velocidade é \vec{v}_1 = 0,1\hat{i} + 2\hat{j}\\ \mathrm{m/s}.\n
  • No instante \mathrm{t}=10,1\\ \mathrm{s} a velocidade é \vec{v}_2 = -0,1\hat{i} + 1,8\hat{j}\\ \mathrm{m/s}.\n
  • Perguntas: determinar (1) a magnitude da aceleração média \vec{a}_{av} durante o intervalo e (2) o ângulo formado pela aceleração média com o eixo x positivo.\n

Passo 2

Fórmula e significado das grandezas (mini-aula rápida).\n
A aceleração média é definida como a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Em símbolos:
\vec{a}_{av} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}
onde \Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 é a variação vetorial da velocidade e \Delta t = t_2-t_1 é o intervalo de tempo. Aqui cada vetor tem componentes x e y, então fazemos a subtração componente a componente.

Passo 3

Calcular \Delta \vec{v} (subtração componente a componente).\n
Usando os dados do enunciado:
\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = (-0,1\hat{i}+1,8\hat{j}) - (0,1\hat{i}+2\hat{j}).
Subtraindo componente a componente:
\Delta v_x = -0,1 - 0,1 = -0,2\\ \mathrm{m/s},
\Delta v_y = 1,8 - 2 = -0,2\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
\Delta \vec{v} = -0,2\hat{i} -0,2\hat{j}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular \vec{a}_{av} dividindo por \Delta t.\n
O intervalo de tempo é
\Delta t = 10,1\\ \mathrm{s} - 10\\ \mathrm{s} = 0,1\\ \mathrm{s}.
Agora
\vec{a}_{av} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{-0,2\hat{i}-0,2\hat{j}}{0,1}.
Dividindo cada componente:
a_{x} = \frac{-0,2}{0,1} = -2\\ \mathrm{m/s^2},
a_{y} = \frac{-0,2}{0,1} = -2\\ \mathrm{m/s^2}.
Logo
\vec{a}_{av} = -2\hat{i} -2\hat{j}\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Calcular a magnitude da aceleração média (mini-aula sobre norma de vetor).\n
A magnitude (norma) de um vetor com componentes a_x e a_y é dada por
|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2},
onde \sqrt{\cdot} é a raiz quadrada. Substituindo a_x=-2 e a_y=-2:
|\vec{a}_{av}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s^2}.
Se quiser uma aproximação numérica:
2\sqrt{2} \approx 2,83\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Calcular o ângulo que \vec{a}_{av} forma com o eixo x positivo (mini-aula sobre arco-tangente e quadrante).\n
A tangente do ângulo \theta é \tan\theta = \dfrac{a_y}{a_x}. Aqui
\frac{a_y}{a_x} = \frac{-2}{-2} = 1.
A função \arctan(1) dá o ângulo de referência 45^\circ. Mas atenção: tanto a_x quanto a_y são negativos, então o vetor está no terceiro quadrante; o ângulo medido a partir do eixo x positivo, no sentido anti-horário, é esse ângulo de referência mais 180^\circ:
\theta = 45^\circ + 180^\circ = 225^\circ.
Obs.: a mesma direção também pode ser expressa como -135^\circ se preferir um ângulo negativo (medido no sentido horário).

Resposta

|\vec{a}_{av}| = 2\sqrt{2}\\ \mathrm{m/s^2}\\ (\approx 2,83\\ \mathrm{m/s^2})\n
\theta = 225^\circ

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