Questão 17 - No instante \mathrm{t}=0, o vetor posição de uma partícula em movimento no plano \mathrm{x}-\mathrm{y} é \mathrm{r}=5 \hat{i} \mathrm{~m}. No instante \mathrm{t}=0,02 \mathrm{~s}, seu vetor posição se torna 5,1 \hat{i}+0,4 \hat{j} \mathrm{~m}. Determine a magnitude de sua velocidade média \mathrm{v}_{\text {av }} durante esse intervalo e o ângulo formado pela velocidade média com o eixo x positivo.

Passo 1

O enunciado dá as posições da partícula em dois instantes e pede duas coisas:
  • No instante \mathrm{t}=0 a posição é \mathbf{r}_0=5\hat{i}\,\mathrm{m}.
  • No instante \mathrm{t}=0,02\,\mathrm{s} a posição é \mathbf{r}_1=5,1\hat{i}+0,4\hat{j}\,\mathrm{m}.
    O que o problema pede:
  1. A magnitude da velocidade média \mathrm{v}_{\text{av}} durante o intervalo entre \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=0,02\,\mathrm{s}.
  2. O ângulo que essa velocidade média forma com o eixo x positivo.

Passo 2

Conceitos essenciais (passo a passo, sem pular etapas):
  • Deslocamento: é a variação do vetor posição. Se \mathbf{r}_0 é a posição inicial e \mathbf{r}_1 é a posição final, o deslocamento é \Delta\mathbf{r}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_0. Aqui \hat{i} e \hat{j} são os vetores unitários nas direções x e y.
  • Velocidade média vetorial: é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo:
\mathbf{v}_{\text{av}}=\frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t}.
  • Magnitude da velocidade média: se \mathbf{v}_{\text{av}}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}, então a magnitude é
v_{\text{av}}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}.
  • Ângulo com o eixo x: se v_x>0 e v_y qualquer, o ângulo \theta medido a partir do eixo x positivo satisfaz
\theta=\arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right).
Esses são os passos teóricos que vamos aplicar aos números do enunciado.

Passo 3

Calcular o deslocamento componente a componente:
  • Componente x:
\Delta x = 5,1 - 5 = 0,1\\ \mathrm{m}.
  • Componente y:
\Delta y = 0,4 - 0 = 0,4\\ \mathrm{m}.
Portanto
\Delta\mathbf{r}=0,1\hat{i}+0,4\hat{j}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o intervalo de tempo:
\Delta t = 0,02-0 = 0,02\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Calcular a velocidade média componente a componente dividindo o deslocamento pelo tempo:
  • Componente x:
v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0,1}{0,02}=5\\ \mathrm{m/s}.
  • Componente y:
v_y=\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{0,4}{0,02}=20\\ \mathrm{m/s}.
Logo a velocidade média vetorial é
\mathbf{v}_{\text{av}}=5\hat{i}+20\hat{j}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a magnitude da velocidade média usando a fórmula do comprimento de um vetor em 2D:
v_{\text{av}}=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{5^2+20^2}=\sqrt{25+400}=\sqrt{425}.
Simplificando,
\sqrt{425}=5\sqrt{17}\\ \mathrm{m/s}\approx20,62\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida: estamos aplicando o Teorema de Pitágoras aos componentes da velocidade média, porque v_x e v_y são catetos de um triângulo retângulo cujo hipotenusa é o módulo do vetor.

Passo 7

Calcular o ângulo formado pela velocidade média com o eixo x positivo. Como v_x=5>0 e v_y=20>0, o vetor está no primeiro quadrante e usamos
\theta=\arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{20}{5}\right)=\arctan(4).
Valor aproximado:
\theta\approx75,96^\circ.
Comentário prático: \arctan dá o ângulo cujo tangente é v_y/v_x. Como ambos os componentes são positivos, não precisamos ajustar o ângulo por quadrantes.

Resposta

v_{\text{av}}=5\sqrt{17}\\ \mathrm{m/s}\approx20,62\\ \mathrm{m/s}
\theta=\arctan(4)\approx75,96^\circ

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