Questão 16: Uma matriz quadrada é dita ortoqonal se A é inversível e A^{t}=A^{-1}.
Mostre que, para qualquer matriz simétrica e idempotente A, a matriz I-2 A é ortogonal.
Sugestão: Analise (I-2 A)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se A é simétrica A^T = A e idempotente A^2 = A, então a matriz
I - 2A
é ortogonal. Isto significa verificar que
(I - 2A)^T \;=\;(I - 2A)^{-1}.
Para isso, usaremos as propriedades de simetria e idempotência de A.

Passo 2

Como A é idempotente, temos
A^2 = A,
e como é simétrica, temos
A^T = A.
Estas duas informações serão usadas para simplificar transpostas e produtos envolvendo A.

Passo 3

Calculemos a transposta de I - 2A. Sabendo que I^T = I e A^T = A, obtemos
(I - 2A)^T = I^T - 2\,A^T = I - 2A.
Portanto
(I - 2A)^T = I - 2A.

Passo 4

Agora vejamos o quadrado de I - 2A:
(I - 2A)^2 = I^2 - 2\,I\,A - 2\,A\,I + 4A^2.
Como I é a matriz identidade e A^2=A, isso simplifica para
(I - 2A)^2 = I - 4A + 4A = I.
Logo
(I - 2A)^{-1} = I - 2A.

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores, concluímos que
(I - 2A)^T = I - 2A = (I - 2A)^{-1}.
Isto mostra exatamente que I - 2A é ortogonal.

Resposta

I - 2A é ortogonal.

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