Questão 16: Uma matriz quadrada é dita ortoqonal se A é inversível e A^{t}=A^{-1}.
Mostre que a matriz
A=\left[\begin{array}{rr} \cos \alpha & \sin \alpha \\\\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]
é ortogonal.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A = \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\\\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}
é ortogonal, isto é, satisfaz \,A^{t}=A^{-1}. Vamos usar definição de transposta, inversa de matrizes 2\times2 e a identidade trigonométrica \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1.

Passo 2

Calculemos primeiro a transposta de A. Troca­-se linhas por colunas, obtendo
A^{t} = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora fazemos o produto A^{t}A. Cada elemento é
(A^{t}A)_{11} = \cos\alpha\cdot\cos\alpha + (-\sin\alpha)\cdot(-\sin\alpha) = \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1,
(A^{t}A)_{12} = \cos\alpha\cdot\sin\alpha + (-\sin\alpha)\cdot\cos\alpha = \cos\alpha\,\sin\alpha - \sin\alpha\,\cos\alpha = 0,
(A^{t}A)_{21} = \sin\alpha\cdot\cos\alpha + \cos\alpha\cdot(-\sin\alpha) = \sin\alpha\,\cos\alpha - \cos\alpha\,\sin\alpha = 0,
(A^{t}A)_{22} = \sin\alpha\cdot\sin\alpha + \cos\alpha\cdot\cos\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.
Portanto
A^{t}A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt]0 & 1\end{pmatrix} = I.]

Passo 4

Como A^{t}A=I, concluímos que A é inversível e que
A^{-1}=A^{t}.
Logo, A satisfaz a definição de matriz ortogonal.

Resposta

A matriz
A = \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\\\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}
é ortogonal, pois A^{t}A=I e portanto A^{-1}=A^{t}.

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