Questão 16: Uma matriz quadrada é dita ortoqonal se
é inversível e
.
Mostre que, para qualquer matriz simétrica e idempotente
, a matriz
é ortogonal.
Sugestão: Analise
.
Mostre que, para qualquer matriz simétrica e idempotente
Sugestão: Analise
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é simétrica
e idempotente
, então a matriz
é ortogonal. Isto significa verificar que
Para isso, usaremos as propriedades de simetria e idempotência de
.
Passo 2
Como
é idempotente, temos
e como é simétrica, temos
Estas duas informações serão usadas para simplificar transpostas e produtos envolvendo
.
Passo 3
Calculemos a transposta de
. Sabendo que
e
, obtemos
Portanto
Passo 4
Agora vejamos o quadrado de
:
Como
é a matriz identidade e
, isso simplifica para
Logo
Passo 5
Juntando os resultados dos passos anteriores, concluímos que
Isto mostra exatamente que
é ortogonal.