QUESTÃO 15: (Mecânica dos Sólidos)
Considere um experimento, no qual uma barra de alumínio de 60 mm de diâmetro é tracionada em uma máquina de ensaio. Em um determinado instante, a força aplicada (
) é de 16000 kgf tendo um alongamento medido na barra de
em um comprimento de 300 mm , e o diâmetro diminui de
. Calcule o módulo de elasticidade
e o coeficiente de Poisson (
) do material. Justifique sua resposta.
QUESTÃO 16: (Mecânica dos Sólidos)
Um pequeno cilindro pressurizado internamente é fixado em uma das extremidades e carregado, através de uma chave, na outra extremidade. A pressão interna causa uma tensão tangencial de 400 MPa e uma tensão axial de 200 MPa , que atuam em um elemento posicionado no ponto
. A chave superpõe, no elemento
, uma tensão de flexão de 100 MPa e uma tensão devida à torção de 200 MPa . Construa o Círculo de Mohr representando o estado de tensões no ponto
, indicando graficamente as tensões principais. Justifique sua resposta.
Considere um experimento, no qual uma barra de alumínio de 60 mm de diâmetro é tracionada em uma máquina de ensaio. Em um determinado instante, a força aplicada (
Passo 1
Enunciados e dados fornecidos (separados por questão):
Questão 15:
- Uma barra de alumínio tem diâmetro inicial
. - Força aplicada
. - Alongamento medido
em um comprimento inicial . - Diminuição do diâmetro (variação)
(a notação do enunciado indica que o diâmetro diminui; aqui tomo ). - Pedidos: calcular o módulo de elasticidade
e o coeficiente de Poisson do material e justificar.
Questão 16:
- Num ponto
de um cilindro pressurizado e carregado por uma chave: - Tensão tangencial (circunferencial/hoop)
. - Tensão axial (longitudinal) proveniente da pressão interna
. - A chave adiciona: tensão de flexão (normal axial)
. - A chave adiciona: tensão de torção (shear)
.
- Tensão tangencial (circunferencial/hoop)
- Pedido: construir o Círculo de Mohr para o estado de tensões no ponto
e indicar graficamente as tensões principais. Justificar.
Passo 2
Conceitos e fórmulas importantes que vamos usar (aula rápida e amigável):
- Tensão normal média (sigla: tensão de engenharia) em tração é definida por
onde
é a força e
a área da seção transversal (unidades consistentes: aqui mm e kgf; depois convertemos para MPa).
- Deformação longitudinal (deformação de engenharia)
- Lei de Hooke (região elástica linear) relaciona tensão e deformação:
onde
é o módulo de elasticidade que queremos encontrar.
- Coeficiente de Poisson
mede a razão entre a contração lateral e o alongamento axial (com sinal):
onde
(deformação lateral) e
.
- Conversões usuais:
. Podemos calcular a tensão primeiro em e depois multiplicar por para obter . - Suposições que justificam usar essas fórmulas: pequenas deformações, material em regime elástico linear, seção circular permanece aproximadamente circular (pequenas mudanças).
Passo 3
Cálculo da área da seção (barra circular):
Valor numérico:
Passo 4
Cálculo da tensão axial de engenharia
:
- Primeiro em
:
- Converter para
:
Portanto a tensão axial no instante considerado é aproximadamente
.
Passo 5
Cálculo das deformações:
- Deformação longitudinal (axial):
- Deformação lateral (transversal), tomando
:
Passo 6
Cálculo do coeficiente de Poisson
:
- Aplicando a definição
Assim,
Comentário didático: o coeficiente de Poisson costuma ficar entre
e
para muitos alumínios — nosso valor está na faixa esperada, o que dá consistência física ao resultado.
Passo 7
Cálculo do módulo de elasticidade
:
- Usando a lei de Hooke na direção axial (pressupostos: material linear-elástico e pequena deformação),
- Fazendo a divisão:
Arredondando razoavelmente:
Comentário didático: esse valor é coerente com o módulo de elasticidade do alumínio comercial (tipicamente em torno de
–
), o que reforça que o procedimento e as medições fazem sentido.
Passo 8
Agora vamos à Questão 16 — organizar o sistema de tensões e as hipóteses:
- Escolho um sistema de eixos bidimensional no ponto
: eixo na direção axial (longitudinal do cilindro) e eixo na direção tangencial (circunferência). - Tensões dadas e como superpor:
- Tensão axial proveniente da pressão:
(assumo isto como no plano). - Tensão de flexão na mesma direção axial:
(soma aos 200). - Tensão tangencial circunferencial:
(assumo isto como ). - Tensão de torção: produz uma tensão de cisalhamento no plano
que vamos chamar de .
- Tensão axial proveniente da pressão:
- Suposição: superposição linear das tensões (válida em regime elástico linear).
Passo 9
Determinar as componentes do estado plano de tensões no ponto
:
Comentário sobre sinais: Para construir o Círculo de Mohr, usamos o par de pontos
e
no plano
.
Passo 10
Fórmulas do Círculo de Mohr (resumão prático):
- Centro do círculo:
- Raio do círculo:
- Tensões principais (interseções com o eixo horizontal):
- Ângulo principal (entre o eixo
e a direção principal):
Essas fórmulas vêm diretamente da transformação de tensões para 2D e da geometria do Círculo de Mohr — o círculo traduz graficamente as combinações de
e
em planos rotacionados.
Passo 11
Cálculo numérico do Círculo de Mohr:
- Centro:
- Diferença /2:
- Raio:
- Tensões principais:
Arredondando com dois decimais:
- Máxima tensão de cisalhamento (módulo) no plano:
Passo 12
Cálculo do ângulo principal (para indicar orientação no desenho):
Logo
Interpretação prática: o maior valor principal
ocorre em um plano girado aproximadamente
em relação ao eixo
(sinal e sentido dependem da convenção de giro usada na construção do círculo; o importante é a magnitude do ângulo e a relação entre tensões).
Passo 13
Como construir o Círculo de Mohr graficamente (passo a passo para a prova):
- Fazer um sistema de eixos: horizontal eixo das tensões normais
(MPa) e vertical eixo das tensões de cisalhamento (MPa). - Marcar o ponto
. - Marcar o ponto
. - O centro do círculo é o ponto na reta entre
e com abscissa e ordenada . - Traçar o círculo com centro em
e raio . - As interseções do círculo com o eixo
são e calculadas acima. - A coordenada máxima de
no círculo (ponto mais alto/mais baixo) dá .
Essa construção mostra visualmente as tensões principais e as máximas cisalhantes; os pontose estão sobre o círculo e representam o estado de tensões nas faces do elemento original.
Passo 14
Justificativas finais (resumo e física por trás dos números):
- Questão 15: usamos definições básicas (tensão média, deformação de engenharia), a definição de Poisson e a lei de Hooke na região elástica. A consistência dos valores obtidos (
e ) com propriedades típicas do alumínio confirma que as hipóteses (pequenas deformações e comportamento elástico linear) são razoáveis. - Questão 16: aplicamos superposição linear das componentes de tensão (válida no regime elástico) e, em seguida, a transformação de tensões para um plano rotacionado — geometricamente representada pelo Círculo de Mohr. Os valores numéricos de
, e são as quantidades que devem ser indicadas no desenho do círculo e nas direções principais.