QUESTÃO 15: (Mecânica dos Sólidos)
Considere um experimento, no qual uma barra de alumínio de 60 mm de diâmetro é tracionada em uma máquina de ensaio. Em um determinado instante, a força aplicada ( P ) é de 16000 kgf tendo um alongamento medido na barra de 0,238 \mathrm{~mm} em um comprimento de 300 mm , e o diâmetro diminui de 0,0149 \mathrm{~mm}. Calcule o módulo de elasticidade (E) e o coeficiente de Poisson ( v ) do material. Justifique sua resposta.

QUESTÃO 16: (Mecânica dos Sólidos)

Um pequeno cilindro pressurizado internamente é fixado em uma das extremidades e carregado, através de uma chave, na outra extremidade. A pressão interna causa uma tensão tangencial de 400 MPa e uma tensão axial de 200 MPa , que atuam em um elemento posicionado no ponto A. A chave superpõe, no elemento A, uma tensão de flexão de 100 MPa e uma tensão devida à torção de 200 MPa . Construa o Círculo de Mohr representando o estado de tensões no ponto A, indicando graficamente as tensões principais. Justifique sua resposta.

Passo 1

Enunciados e dados fornecidos (separados por questão):
Questão 15:
  • Uma barra de alumínio tem diâmetro inicial \,d_0=60\\ \mathrm{mm}.
  • Força aplicada \,P=16000\\ \mathrm{kgf}.
  • Alongamento medido \,\Delta L=0,238\\ \mathrm{mm} em um comprimento inicial \,L_0=300\\ \mathrm{mm}.
  • Diminuição do diâmetro (variação) \,\Delta d=-0,0149\\ \mathrm{mm} (a notação do enunciado indica que o diâmetro diminui; aqui tomo \Delta d=-0,0149\\ \mathrm{mm}).
  • Pedidos: calcular o módulo de elasticidade \,E e o coeficiente de Poisson \,\nu do material e justificar.
Questão 16:
  • Num ponto A de um cilindro pressurizado e carregado por uma chave:
    • Tensão tangencial (circunferencial/hoop) \,\sigma_\theta=400\\ \mathrm{MPa}.
    • Tensão axial (longitudinal) proveniente da pressão interna \,\sigma_z=200\\ \mathrm{MPa}.
    • A chave adiciona: tensão de flexão (normal axial) \, \sigma_{\text{flex}}=100\\ \mathrm{MPa}.
    • A chave adiciona: tensão de torção (shear) \,\tau_{\text{tor}}=200\\ \mathrm{MPa}.
  • Pedido: construir o Círculo de Mohr para o estado de tensões no ponto A e indicar graficamente as tensões principais. Justificar.

Passo 2

Conceitos e fórmulas importantes que vamos usar (aula rápida e amigável):
  • Tensão normal média (sigla: tensão de engenharia) em tração é definida por
\sigma=\frac{P}{A},
onde \,P é a força e \,A a área da seção transversal (unidades consistentes: aqui mm e kgf; depois convertemos para MPa).
  • Deformação longitudinal (deformação de engenharia)
\varepsilon=\frac{\Delta L}{L_0}.
  • Lei de Hooke (região elástica linear) relaciona tensão e deformação:
\sigma=E\,\varepsilon,
onde \,E é o módulo de elasticidade que queremos encontrar.
  • Coeficiente de Poisson \,\nu mede a razão entre a contração lateral e o alongamento axial (com sinal):
\nu=-\frac{\varepsilon_{\text{trans}}}{\varepsilon_{\text{long}}},
onde \varepsilon_{\text{trans}}=\dfrac{\Delta d}{d_0} (deformação lateral) e \varepsilon_{\text{long}}=\dfrac{\Delta L}{L_0}.
  • Conversões usuais: 1\\ \mathrm{kgf/mm^2}=9,80665\\ \mathrm{MPa}. Podemos calcular a tensão primeiro em \mathrm{kgf/mm^2} e depois multiplicar por 9,80665 para obter \mathrm{MPa}.
  • Suposições que justificam usar essas fórmulas: pequenas deformações, material em regime elástico linear, seção circular permanece aproximadamente circular (pequenas mudanças).

Passo 3

Cálculo da área da seção (barra circular):
A=\frac{\pi d_0^2}{4}=\frac{\pi (60)^2}{4}=\pi\cdot 900=900\pi\\ \mathrm{mm^2}.
Valor numérico:
900\pi\approx 2827{,}433\\ \mathrm{mm^2}.

Passo 4

Cálculo da tensão axial de engenharia \sigma:
  • Primeiro em \mathrm{kgf/mm^2}:
\sigma_{\text{(kgf/mm^2)}}=\frac{P}{A}=\frac{16000}{900\pi}\approx 5{,}657\\ \mathrm{kgf/mm^2}.
  • Converter para \mathrm{MPa}:
\sigma=\sigma_{\text{(kgf/mm^2)}}\times 9{,}80665\approx 5{,}657\times 9{,}80665\approx 55{,}505\\ \mathrm{MPa}.
Portanto a tensão axial no instante considerado é aproximadamente \,55{,}505\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Cálculo das deformações:
  • Deformação longitudinal (axial):
\varepsilon_{\text{long}}=\frac{\Delta L}{L_0}=\frac{0{,}238}{300}=0{,}000793333\ldots\approx 7{,}93333\times 10^{-4}.
  • Deformação lateral (transversal), tomando \Delta d=-0{,}0149\\ \mathrm{mm}:
\varepsilon_{\text{trans}}=\frac{\Delta d}{d_0}=\frac{-0{,}0149}{60}=-0{,}000248333\ldots\approx -2{,}48333\times 10^{-4}.

Passo 6

Cálculo do coeficiente de Poisson \nu:
  • Aplicando a definição
\nu=-\frac{\varepsilon_{\text{trans}}}{\varepsilon_{\text{long}}}=-\frac{-0{,}000248333\ldots}{0{,}000793333\ldots}=\frac{0{,}000248333\ldots}{0{,}000793333\ldots}\approx 0{,}3133.
Assim,
\nu\approx 0{,}313.
Comentário didático: o coeficiente de Poisson costuma ficar entre 0{,}25 e 0{,}35 para muitos alumínios — nosso valor está na faixa esperada, o que dá consistência física ao resultado.

Passo 7

Cálculo do módulo de elasticidade E:
  • Usando a lei de Hooke na direção axial (pressupostos: material linear-elástico e pequena deformação),
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_{\text{long}}}=\frac{55{,}505\\ \mathrm{MPa}}{0{,}000793333\ldots}.
  • Fazendo a divisão:
E\approx 69{,}994\\ \times 10^{3}\\ \mathrm{MPa}\approx 69{,}994\\ \mathrm{GPa}.
Arredondando razoavelmente:
E\approx 70{,}0\\ \mathrm{GPa}.
Comentário didático: esse valor é coerente com o módulo de elasticidade do alumínio comercial (tipicamente em torno de 69 70\\ \mathrm{GPa}), o que reforça que o procedimento e as medições fazem sentido.

Passo 8

Agora vamos à Questão 16 — organizar o sistema de tensões e as hipóteses:
  • Escolho um sistema de eixos bidimensional no ponto A: eixo x na direção axial (longitudinal do cilindro) e eixo y na direção tangencial (circunferência).
  • Tensões dadas e como superpor:
    • Tensão axial proveniente da pressão: \sigma_z=200\\ \mathrm{MPa} (assumo isto como \sigma_x no plano).
    • Tensão de flexão na mesma direção axial: \sigma_{\text{flex}}=100\\ \mathrm{MPa} (soma aos 200).
    • Tensão tangencial circunferencial: \sigma_\theta=400\\ \mathrm{MPa} (assumo isto como \sigma_y).
    • Tensão de torção: produz uma tensão de cisalhamento no plano (x,y) que vamos chamar de \tau_{xy}=200\\ \mathrm{MPa}.
  • Suposição: superposição linear das tensões (válida em regime elástico linear).

Passo 9

Determinar as componentes do estado plano de tensões no ponto A:
\sigma_x=\sigma_z+\sigma_{\text{flex}}=200+100=300\\ \mathrm{MPa},
\sigma_y=\sigma_\theta=400\\ \mathrm{MPa},
\tau_{xy}=\tau_{\text{tor}}=200\\ \mathrm{MPa}.
Comentário sobre sinais: Para construir o Círculo de Mohr, usamos o par de pontos (\sigma_x,\tau_{xy}) e (\sigma_y,-\tau_{xy}) no plano (\sigma,\tau).

Passo 10

Fórmulas do Círculo de Mohr (resumão prático):
  • Centro do círculo:
\sigma_{\text{m}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}.
  • Raio do círculo:
R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
  • Tensões principais (interseções com o eixo horizontal):
\sigma_{1,2}=\sigma_{\text{m}}\pm R.
  • Ângulo principal (entre o eixo x e a direção principal):
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}.
Essas fórmulas vêm diretamente da transformação de tensões para 2D e da geometria do Círculo de Mohr — o círculo traduz graficamente as combinações de \sigma e \tau em planos rotacionados.

Passo 11

Cálculo numérico do Círculo de Mohr:
  • Centro:
\sigma_{\text{m}}=\frac{300+400}{2}=350\\ \mathrm{MPa}.
  • Diferença /2:
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{300-400}{2}=-50\\ \mathrm{MPa}.
  • Raio:
R=\sqrt{(-50)^2+200^2}=\sqrt{2500+40000}=\sqrt{42500}\approx 206{,}155\\ \mathrm{MPa}.
  • Tensões principais:
\sigma_1=\sigma_{\text{m}}+R=350+206{,}155\approx 556{,}155\\ \mathrm{MPa},
\sigma_2=\sigma_{\text{m}}-R=350-206{,}155\approx 143{,}845\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando com dois decimais:
\sigma_1\approx 556{,}16\\ \mathrm{MPa},\qquad \sigma_2\approx 143{,}84\\ \mathrm{MPa}.
  • Máxima tensão de cisalhamento (módulo) no plano:
\tau_{\max}=R\approx 206{,}16\\ \mathrm{MPa}.

Passo 12

Cálculo do ângulo principal (para indicar orientação no desenho):
\tan(2\theta_p)=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}=\frac{2\cdot 200}{300-400}=\frac{400}{-100}=-4.
Logo
2\theta_p=\arctan(-4)\approx -75{,}9638^\circ,
\theta_p\approx -37{,}9819^\circ.
Interpretação prática: o maior valor principal \sigma_1 ocorre em um plano girado aproximadamente -37{,}98^\circ em relação ao eixo x (sinal e sentido dependem da convenção de giro usada na construção do círculo; o importante é a magnitude do ângulo e a relação entre tensões).

Passo 13

Como construir o Círculo de Mohr graficamente (passo a passo para a prova):
  1. Fazer um sistema de eixos: horizontal eixo das tensões normais \sigma (MPa) e vertical eixo das tensões de cisalhamento \tau (MPa).
  2. Marcar o ponto A=(\sigma_x,\tau_{xy})=(300,\;200).
  3. Marcar o ponto B=(\sigma_y,-\tau_{xy})=(400,\;-200).
  4. O centro do círculo é o ponto na reta entre A e B com abscissa \sigma_{\text{m}}=350 e ordenada 0.
  5. Traçar o círculo com centro em (350,0) e raio R\approx 206{,}16.
  6. As interseções do círculo com o eixo \sigma são \sigma_1 e \sigma_2 calculadas acima.
  7. A coordenada máxima de \tau no círculo (ponto mais alto/mais baixo) dá \tau_{\max}.
    Essa construção mostra visualmente as tensões principais e as máximas cisalhantes; os pontos A e B estão sobre o círculo e representam o estado de tensões nas faces do elemento original.

Passo 14

Justificativas finais (resumo e física por trás dos números):
  • Questão 15: usamos definições básicas (tensão média, deformação de engenharia), a definição de Poisson e a lei de Hooke na região elástica. A consistência dos valores obtidos ( E\approx 70\\ \mathrm{GPa} e \nu\approx 0{,}313) com propriedades típicas do alumínio confirma que as hipóteses (pequenas deformações e comportamento elástico linear) são razoáveis.
  • Questão 16: aplicamos superposição linear das componentes de tensão (válida no regime elástico) e, em seguida, a transformação de tensões para um plano rotacionado — geometricamente representada pelo Círculo de Mohr. Os valores numéricos de \sigma_1, \sigma_2 e \tau_{\max} são as quantidades que devem ser indicadas no desenho do círculo e nas direções principais.

Resposta

E\approx 70{,}0\\ \mathrm{GPa},\\ \nu\approx 0{,}313.
\sigma_1\approx 556{,}16\\ \mathrm{MPa},\\ \sigma_2\approx 143{,}84\\ \mathrm{MPa}

Exercícios relacionados