Questão 16
Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Nesta questão,
denota a função exponencial
. Seja
uma função contínua cuja primeira derivada parcial com respeito a
é
.
Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de
com respeito a
?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de
Passo 1
O enunciado dá a derivada parcial de
em relação a
e pede qual das funções fornecidas pode ser a derivada parcial de
em relação a
. Informações dadas:
O que se pergunta: qual das funções a seguir pode ser
?
Informações relevantes que vamos usar:
é contínua e tem derivadas parciais (pelo enunciado). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): quando
tem primeiras derivadas parciais contínuas numa região, vale o teorema de Clairaut: as derivadas mistas são iguais. Em forma matemática:
Isso significa que, se chamarmos
, então
Estratégia: calcular o lado direito
e exigir que cada candidata
satisfa
esse valor. Vou explicar as regras de diferenciação que uso: quando derivo em relação a
uma expressão que é produto de
com função só de
, trato o fator em
como a variável e a função de
como constante; quando derivo uma exponencial
em relação a
, uso a regra da cadeia:
.
Passo 3
Calculemos
. Partimos de
Derivando em relação a
:
- O termo
é produto de por uma função que depende só de . Ao derivar em , o é constante perante . Logo a derivada é
- O termo
não depende de , então sua derivada em relação a é .
Portanto
Resumo: o valor que deve ser igual a
(isto é, a
) é
Passo 4
Critério prático: para cada candidata
(cada opção), calcule
(derivada parcial de
em relação a
) e compare com
. Vou fazer isso de forma direta e explicada:
-
Opção (a):
. - A segunda parcela depende só de
, então sua derivada em é . - A primeira parcela: ao derivar
em uso a regra da cadeia: deriva-se o expoente que tem derivada . Assim
Isso não é igual aporque sobra o fator e o multiplicador (pois ). Portanto (a) falha. - A segunda parcela depende só de
-
Opção (b):
. - Aqui
. - Isso depende de
, enquanto a quantidade que precisamos é independente de . Logo (b) falha (só daria certo se fosse identicamente , o que não é imposto).
- Aqui
-
Opção (c):
. - Derivada em
: . - Há um fator
extra; portanto (c) falha.
- Derivada em
-
Opção (d):
. - A segunda parcela depende só de
, então sua derivada em é . - A primeira parcela tem derivada
Isso é exatamente a quantidade que encontramos em - A segunda parcela depende só de
Passo 5
-
Opção (e):
. - Derivada em
: . - Tem fator
e fator ; falha.
- Derivada em
-
Opção (f):
. - Derivada em
: . - Há fator
extra; falha.
- Derivada em
Conclusão parcial: entre as seis candidatas, apenas a que tem a parcela dependente de
exatamente igual a
(mais uma função que depende só de
) produz o
exigido.
Passo 6
Interpretação final e garantia de unicidade: como as derivadas mistas devem coincidir e já encontramos o valor de
, qualquer
deve ter derivada em
igual a esse valor. Entre as opções dadas, só uma tem essa propriedade; as demais falham por apresentarem fatores extras em
ou constantes multiplicativas no expoente. Assim existe uma única candidata compatível com a igualdade das derivadas mistas.
Resposta
(d)