Questão 16
Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Nesta questão, \exp (x) denota a função exponencial e^{x}. Seja F(x, y) uma função contínua cuja primeira derivada parcial com respeito a x é y(12 x-3) \exp \left(6 x^{2}-3 x\right)-\operatorname{sen}(2 x+1).
Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de F com respeito a y ?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. y^{2} \exp \left(6 x^{2}-3 x+6\right)+\operatorname{sen}^{2}\left(2 y^{2}+2 y-1\right)
\bigcirc b. y \exp \left(6 x^{2}-3 x\right)
\bigcirc c. \exp \left(6 x^{2}-3 x+6\right)+\operatorname{sen}^{2}\left(2 y^{2}+2 y-1\right)
\bigcirc d. \exp \left(6 x^{2}-3 x\right)+\exp \left(6 y^{2}-4 y-2\right)
\bigcirc e. y^{2} \exp \left(6 x^{2}-3 x+3\right)+\exp \left(6 y^{2}-4 y-2\right)
\bigcirc f. \exp \left(6 x^{2}-3 x+3\right)+\operatorname{sen}^{2}\left(2 y^{2}+2 y-1\right)

Passo 1

O enunciado dá a derivada parcial de F em relação a x e pede qual das funções fornecidas pode ser a derivada parcial de F em relação a y. Informações dadas:
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=y(12x-3)\exp\!\left(6x^{2}-3x\right)-\operatorname{sen}(2x+1).
O que se pergunta: qual das funções a seguir pode ser \dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y)?
\begin{aligned} \text{(a)}\\ & y^{2}\exp\!\left(6x^{2}-3x+6\right)+\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(2y^{2}+2y-1\bigr)\\\ \text{(b)}\\ & y\exp\!\left(6x^{2}-3x\right)\\\ \text{\text{(c)}}\\ & \exp\!\left(6x^{2}-3x+6\right)+\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(2y^{2}+2y-1\bigr)\\\ \text{(d)}\\ & \exp\!\left(6x^{2}-3x\right)+\exp\!\left(6y^{2}-4y-2\right)\\\ \text{(e)}\\ & y^{2}\exp\!\left(6x^{2}-3x+3\right)+\exp\!\left(6y^{2}-4y-2\right)\\\ \text{(f)}\\ & \exp\!\left(6x^{2}-3x+3\right)+\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(2y^{2}+2y-1\bigr) \end{aligned}
Informações relevantes que vamos usar: F é contínua e tem derivadas parciais (pelo enunciado). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): quando F tem primeiras derivadas parciais contínuas numa região, vale o teorema de Clairaut: as derivadas mistas são iguais. Em forma matemática:
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right).
Isso significa que, se chamarmos G(x,y)=\dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y), então
\frac{\partial}{\partial x}G(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right).
Estratégia: calcular o lado direito \dfrac{\partial}{\partial y}\!\bigl(\dfrac{\partial F}{\partial x}\bigr) e exigir que cada candidata G satisfa G_x= esse valor. Vou explicar as regras de diferenciação que uso: quando derivo em relação a y uma expressão que é produto de y com função só de x, trato o fator em y como a variável e a função de x como constante; quando derivo uma exponencial \exp(h(x)) em relação a x, uso a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\exp(h(x))=\exp(h(x))\,h'(x).

Passo 3

Calculemos \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial F}{\partial x}\right). Partimos de
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=y(12x-3)\exp\!\left(6x^{2}-3x\right)-\operatorname{sen}(2x+1).
Derivando em relação a y:
  • O termo y(12x-3)\exp(6x^{2}-3x) é produto de y por uma função que depende só de x. Ao derivar em y, o (12x-3)\exp(6x^{2}-3x) é constante perante y. Logo a derivada é
(12x-3)\exp\!\left(6x^{2}-3x\right).
  • O termo -\operatorname{sen}(2x+1) não depende de y, então sua derivada em relação a y é 0.
Portanto
\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right) = (12x-3)\exp\!\left(6x^{2}-3x\right).
Resumo: o valor que deve ser igual a \dfrac{\partial}{\partial x}G(x,y) (isto é, a G_x) é
(12x-3)\exp\!\left(6x^{2}-3x\right).

Passo 4

Critério prático: para cada candidata G(x,y) (cada opção), calcule G_x (derivada parcial de G em relação a x) e compare com (12x-3)\exp(6x^{2}-3x). Vou fazer isso de forma direta e explicada:
  • Opção (a): G(x,y)=y^{2}\exp(6x^{2}-3x+6)+\operatorname{sen}^{2}(2y^{2}+2y-1).
    • A segunda parcela depende só de y, então sua derivada em x é 0.
    • A primeira parcela: ao derivar \exp(6x^{2}-3x+6) em x uso a regra da cadeia: deriva-se o expoente 6x^{2}-3x+6 que tem derivada 12x-3. Assim
    G_x=y^{2}(12x-3)\exp(6x^{2}-3x+6).
    Isso não é igual a (12x-3)\exp(6x^{2}-3x) porque sobra o fator y^{2} e o multiplicador e^{6} (pois \exp(6x^{2}-3x+6)=e^{6}\exp(6x^{2}-3x)). Portanto (a) falha.
  • Opção (b): G(x,y)=y\exp(6x^{2}-3x).
    • Aqui G_x=y(12x-3)\exp(6x^{2}-3x).
    • Isso depende de y, enquanto a quantidade que precisamos é independente de y. Logo (b) falha (só daria certo se y fosse identicamente 1, o que não é imposto).
  • Opção (c): G(x,y)=\exp(6x^{2}-3x+6)+\operatorname{sen}^{2}(2y^{2}+2y-1).
    • Derivada em x: G_x=(12x-3)\exp(6x^{2}-3x+6)=(12x-3)e^{6}\exp(6x^{2}-3x).
    • Há um fator e^{6} extra; portanto (c) falha.
  • Opção (d): G(x,y)=\exp(6x^{2}-3x)+\exp(6y^{2}-4y-2).
    • A segunda parcela depende só de y, então sua derivada em x é 0.
    • A primeira parcela tem derivada
    G_x=(12x-3)\exp(6x^{2}-3x).
    Isso é exatamente a quantidade que encontramos em

Passo 5

  • Opção (e): G(x,y)=y^{2}\exp(6x^{2}-3x+3)+\exp(6y^{2}-4y-2).
    • Derivada em x: G_x=y^{2}(12x-3)\exp(6x^{2}-3x+3).
    • Tem fator y^{2} e fator e^{3}; falha.
  • Opção (f): G(x,y)=\exp(6x^{2}-3x+3)+\operatorname{sen}^{2}(2y^{2}+2y-1).
    • Derivada em x: G_x=(12x-3)\exp(6x^{2}-3x+3)=(12x-3)e^{3}\exp(6x^{2}-3x).
    • Há fator e^{3} extra; falha.
Conclusão parcial: entre as seis candidatas, apenas a que tem a parcela dependente de x exatamente igual a \exp(6x^{2}-3x) (mais uma função que depende só de y) produz o G_x exigido.

Passo 6

Interpretação final e garantia de unicidade: como as derivadas mistas devem coincidir e já encontramos o valor de \dfrac{\partial}{\partial y}\!\bigl(\dfrac{\partial F}{\partial x}\bigr), qualquer \dfrac{\partial F}{\partial y} deve ter derivada em x igual a esse valor. Entre as opções dadas, só uma tem essa propriedade; as demais falham por apresentarem fatores extras em y ou constantes multiplicativas no expoente. Assim existe uma única candidata compatível com a igualdade das derivadas mistas.

Resposta

(d)

Exercícios relacionados