Nesta questão, \exp (x) denota a função exponencial e^{x}. Seja F(x, y) uma função contínua cuja primeira derivada parcial com respeito a x é \exp \left(3 y^{2}+6\right)+\operatorname{tg}(x).
Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de F com respeito a y ?
Escolha uma opção: \bigcirc a. 6 y \exp \left(3 y^{2}+15\right) \bigcirc b. 6 x y \exp \left(3 y^{2}+6\right)+4 y-5 \bigcirc c. 6 x y \exp \left(3 y^{2}+12\right) \bigcirc d. 6 x y \exp \left(3 y^{2}+15\right)+\cos \left(-3 y^{2}+y+1\right) \bigcirc e. 6 y \exp \left(3 y^{2}+6\right)+4 y-5 \bigcirc f. 6 x^{2} y \exp \left(3 y^{2}+12\right)+4 y-5
Passo 1
O enunciado dá que a função F(x,y) é contínua e que sua derivada parcial em relação a x é
A pergunta é: qual das alternativas dadas pode ser a única função que seja \frac{\partial F}{\partial y}(x,y)?
Informações relevantes: a expressão de \frac{\partial F}{\partial x} acima e a lista de alternativas (cada alternativa é uma função de x e y). A resolução começa a partir dessa informação.
Passo 2
Ideia básica (explicação didática): se sabemos \frac{\partial F}{\partial x}(x,y), podemos recuperar F(x,y) integrando essa derivada em relação a x, tratando y como constante. Ao integrar em x aparece uma “constante” de integração que pode depender de y; essa dependência será uma função H(y). Esse procedimento não exige assumir igualdade de derivadas mistas; é apenas a noção de primitivação parcial—integrar em uma variável mantendo a outra fixa.
Interpretação e consequência prática: qualquer função que seja \frac{\partial F}{\partial y} deve ter a forma
6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr)+\text{(uma função que depende apenas de }y\text{)}.çã
Ou seja, deve conter exatamente o termo 6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr) e o resto deve ser uma função de y apenas (sem depender de x).
Passo 5
Agora verificamos as alternativas comparando com a forma geral acima:
Alternativa (a): 6y\exp\!\bigl(3y^{2}+15\bigr). Falta o fator x multiplicando e o expoente é \,3y^{2}+15 (não \,3y^{2}+6); logo não bate.
Alternativa (b): 6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr)+4y-5. Tem exatamente o termo 6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr) e o restante 4y-5 depende só de y. Isso está em perfeita concordância com a forma geral, com H'(y)=4y-5. Observação: existe H(y) tal que H'(y)=4y-5; por exemplo H(y)=2y^{2}-5y+C, com C constante, então é válido.
Alternativa (c): 6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+12\bigr). Embora tenha 6xy aparece \exp\!\bigl(3y^{2}+12\bigr) (expoente diferente), logo não coincide.
Alternativa (d): 6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+15\bigr)+\cos\bigl(-3y^{2}+y+1\bigr). Mesmo que o segundo termo dependa só de y, o expoente no primeiro termo é \,3y^{2}+15 em vez de \,3y^{2}+6; portanto não bate.
Alternativa (e): 6y\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr)+4y-5. Falta o fator x no primeiro termo (deveria ser 6xy\ldots), então não pode ser.
Alternativa (f): 6x^{2}y\exp\!\bigl(3y^{2}+12\bigr)+4y-5. Aparece x^{2} e expoente \,3y^{2}+12, ambos incompatíveis.
Passo 6
Conclusão: a única alternativa que tem a forma exigida — isto é, 6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr) mais uma função que depende apenas de y — é a alternativa (b). Portanto essa é a única que pode ser \frac{\partial F}{\partial y}.