Questão 18

Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Nesta questão, \exp (x) denota a função exponencial e^{x}. Seja F(x, y) uma função contínua cuja primeira derivada parcial com respeito a x é \exp \left(3 y^{2}+6\right)+\operatorname{tg}(x).
Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de F com respeito a y ?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 6 y \exp \left(3 y^{2}+15\right)
\bigcirc b. 6 x y \exp \left(3 y^{2}+6\right)+4 y-5
\bigcirc c. 6 x y \exp \left(3 y^{2}+12\right)
\bigcirc d. 6 x y \exp \left(3 y^{2}+15\right)+\cos \left(-3 y^{2}+y+1\right)
\bigcirc e. 6 y \exp \left(3 y^{2}+6\right)+4 y-5
\bigcirc f. 6 x^{2} y \exp \left(3 y^{2}+12\right)+4 y-5

Passo 1

O enunciado dá que a função F(x,y) é contínua e que sua derivada parcial em relação a x é
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr)+\operatorname{tg}(x).
A pergunta é: qual das alternativas dadas pode ser a única função que seja \frac{\partial F}{\partial y}(x,y)?
Informações relevantes: a expressão de \frac{\partial F}{\partial x} acima e a lista de alternativas (cada alternativa é uma função de x e y). A resolução começa a partir dessa informação.

Passo 2

Ideia básica (explicação didática): se sabemos \frac{\partial F}{\partial x}(x,y), podemos recuperar F(x,y) integrando essa derivada em relação a x, tratando y como constante. Ao integrar em x aparece uma “constante” de integração que pode depender de y; essa dependência será uma função H(y). Esse procedimento não exige assumir igualdade de derivadas mistas; é apenas a noção de primitivação parcial—integrar em uma variável mantendo a outra fixa.
Calculemos a primitiva em x:
\int\left(\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr)+\tan x\right)\,dx.
Como y é tratado como constante, temos
\int \exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr)\,dx=\;x\,\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr),
porque \exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr) é constante em relação a x. E
\int \tan x\,dx = -\ln\bigl|\cos x\bigr|.
Portanto, uma expressão para F(x,y) é
F(x,y)=x\,\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr)-\ln\bigl|\cos x\bigr|+H(y),
onde H(y) é uma função arbitrária (a “constante” de integração que depende só de y).

Passo 3

Agora vamos obter \frac{\partial F}{\partial y}(x,y) diferenciando a expressão acima em relação a y. Explico passo a passo cada termo:
  • Para o termo \;x\,\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr): x é constante ao derivar em y. Aplicamos a regra da cadeia para \exp:
    \frac{d}{dy}\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr)=\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr)\cdot\frac{d}{dy}\bigl(3y^{2}+6\bigr).
    E \frac{d}{dy}\bigl(3y^{2}+6\bigr)=6y. Logo
    \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr)\bigr)=x\cdot\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr)\cdot 6y=6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr).
  • O termo -\ln\bigl|\cos x\bigr| não depende de y, então sua derivada parcial em y é 0.
  • A derivada de H(y) é H'(y), que é uma função que depende somente de y.
Somando tudo,
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr)+H'(y).

Passo 4

Interpretação e consequência prática: qualquer função que seja \frac{\partial F}{\partial y} deve ter a forma
6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr)+\text{(uma função que depende apenas de }y\text{)}.çã
Ou seja, deve conter exatamente o termo 6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr) e o resto deve ser uma função de y apenas (sem depender de x).

Passo 5

Agora verificamos as alternativas comparando com a forma geral acima:
  • Alternativa (a): 6y\exp\!\bigl(3y^{2}+15\bigr). Falta o fator x multiplicando e o expoente é \,3y^{2}+15 (não \,3y^{2}+6); logo não bate.
  • Alternativa (b): 6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr)+4y-5. Tem exatamente o termo 6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr) e o restante 4y-5 depende só de y. Isso está em perfeita concordância com a forma geral, com H'(y)=4y-5. Observação: existe H(y) tal que H'(y)=4y-5; por exemplo H(y)=2y^{2}-5y+C, com C constante, então é válido.
  • Alternativa (c): 6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+12\bigr). Embora tenha 6xy aparece \exp\!\bigl(3y^{2}+12\bigr) (expoente diferente), logo não coincide.
  • Alternativa (d): 6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+15\bigr)+\cos\bigl(-3y^{2}+y+1\bigr). Mesmo que o segundo termo dependa só de y, o expoente no primeiro termo é \,3y^{2}+15 em vez de \,3y^{2}+6; portanto não bate.
  • Alternativa (e): 6y\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr)+4y-5. Falta o fator x no primeiro termo (deveria ser 6xy\ldots), então não pode ser.
  • Alternativa (f): 6x^{2}y\exp\!\bigl(3y^{2}+12\bigr)+4y-5. Aparece x^{2} e expoente \,3y^{2}+12, ambos incompatíveis.

Passo 6

Conclusão: a única alternativa que tem a forma exigida — isto é, 6xy\exp\!\bigl(3y^{2}+6\bigr) mais uma função que depende apenas de y — é a alternativa (b). Portanto essa é a única que pode ser \frac{\partial F}{\partial y}.

Resposta

(b)

Exercícios relacionados