Questão 16. De quantos modos podem ser pintados 6 objetos iguais usando 3 cores diferentes?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de pintar 6 objetos iguais usando 3 cores diferentes. Como os objetos são indistinguíveis entre si, só importa quantos objetos têm cada cor, não a ordem em que são pintados.

Passo 2

Sejam x_1, x_2 e x_3 as quantidades de objetos pintados, respectivamente, com a cor 1, cor 2 e cor 3. Precisamos contar todas as soluções não-negativas de
x_1 + x_2 + x_3 = 6,
com x_i \ge 0.

Passo 3

O problema de achar o número de soluções inteiras não-negativas de
x_1 + x_2 + x_3 = 6
é clássico e resolvível pelo método de “barras e estrelas” (stars and bars). A fórmula geral para k variáveis somando n é
\binom{n + k - 1}{k - 1}.
Aqui n=6 e k=3, logo
\binom{6 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{8}{2}.

Passo 4

Calculamos
\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28.

Resposta

28

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