Questão 16. De quantos modos podem ser pintados 6 objetos iguais usando 3 cores diferentes?
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de pintar
objetos iguais usando
cores diferentes. Como os objetos são indistinguíveis entre si, só importa quantos objetos têm cada cor, não a ordem em que são pintados.
Passo 2
Sejam
,
e
as quantidades de objetos pintados, respectivamente, com a cor 1, cor 2 e cor 3. Precisamos contar todas as soluções não-negativas de
com
.
Passo 3
O problema de achar o número de soluções inteiras não-negativas de
é clássico e resolvível pelo método de “barras e estrelas” (stars and bars). A fórmula geral para
variáveis somando
é
Aqui
e
, logo
Passo 4
Calculamos