Questão 13. De quantos modos
casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher e que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas?
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de dispor
casais ao redor de uma roda (configuração circular), sob duas condições simultâneas:\r
. Cada homem fica ao lado de sua própria mulher (os casais são adjacentes). \r
. Não há duas pessoas do mesmo sexo juntas (logo, as posições ao redor da roda devem alternar homem–mulher). \r
O conteúdo principal é o de “arranjos circulares com blocos” e a ideia de usar o princípio da divisão pelo grupo de rotações que preserva a configuração válida.
O conteúdo principal é o de “arranjos circulares com blocos” e a ideia de usar o princípio da divisão pelo grupo de rotações que preserva a configuração válida.
Passo 2
Como não pode haver homem–homem nem mulher–mulher juntos, as pessoas se alternam em torno da roda: homem, mulher, homem, mulher, \dots\ Isso implica que cada homem tem duas vizinhas, ambas mulheres; e para que cada homem esteja ao lado de sua esposa, cada casal forma um bloco de tamanho
, em que o homem e a mulher são obrigatoriamente vizinhos.
Passo 3
Dentro de cada bloco “casal” podemos ter duas orientações possíveis no sentido horário: homem seguido de mulher (M–W) ou mulher seguido de homem (W–M). No entanto, para manter a alternância global ao longo de toda a roda, todos os blocos devem ter a mesma orientação. Logo, há exatamente
escolhas de orientação global: \r
todos os blocos no sentido M–W, ou \r
todos os blocos no sentido W–M.
Passo 4
Agora tratamos cada casal (com sua orientação já fixada) como um único “super-elemento” a ser arranjado em volta da roda. Temos
blocos distintos (pois há
casais), e queremos arranjá-los de modo circular. Mas observe que apenas rotações que deslocam um número par de assentos (isto é, múltiplos de
) preservam o contorno bloco-a-bloco; rotações de uma cadeira quebrariam blocos e não gerariam configurações válidas. O subgrupo de rotações que permanece no conjunto de configurações válidas tem ordem
. \r
\r
Se fixássemos uma disposição linear dos blocos, haveria
permutações. Como configurações que difiram por uma rotação válida (múltiplo de
assentos) são consideradas iguais, dividimos por
. Assim, o número de arranjos circulares de blocos vale\r
\r
Se fixássemos uma disposição linear dos
Passo 5
Finalmente, lembramos das
orientações globais (M–W ou W–M). Multiplicamos por
:\r