Questão 13. De quantos modos n casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher e que pessoas do mesmo sexo não fiquem juntas?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de dispor n casais ao redor de uma roda (configuração circular), sob duas condições simultâneas:\r
1. Cada homem fica ao lado de sua própria mulher (os casais são adjacentes). \r
2. Não há duas pessoas do mesmo sexo juntas (logo, as posições ao redor da roda devem alternar homem–mulher). \r
O conteúdo principal é o de “arranjos circulares com blocos” e a ideia de usar o princípio da divisão pelo grupo de rotações que preserva a configuração válida.

Passo 2

Como não pode haver homem–homem nem mulher–mulher juntos, as pessoas se alternam em torno da roda: homem, mulher, homem, mulher, \dots\ Isso implica que cada homem tem duas vizinhas, ambas mulheres; e para que cada homem esteja ao lado de sua esposa, cada casal forma um bloco de tamanho 2, em que o homem e a mulher são obrigatoriamente vizinhos.

Passo 3

Dentro de cada bloco “casal” podemos ter duas orientações possíveis no sentido horário: homem seguido de mulher (M–W) ou mulher seguido de homem (W–M). No entanto, para manter a alternância global ao longo de toda a roda, todos os blocos devem ter a mesma orientação. Logo, há exatamente 2 escolhas de orientação global: \r
\bullet todos os blocos no sentido M–W, ou \r
\bullet todos os blocos no sentido W–M.

Passo 4

Agora tratamos cada casal (com sua orientação já fixada) como um único “super-elemento” a ser arranjado em volta da roda. Temos n blocos distintos (pois há n casais), e queremos arranjá-los de modo circular. Mas observe que apenas rotações que deslocam um número par de assentos (isto é, múltiplos de 2) preservam o contorno bloco-a-bloco; rotações de uma cadeira quebrariam blocos e não gerariam configurações válidas. O subgrupo de rotações que permanece no conjunto de configurações válidas tem ordem n. \r
\r
Se fixássemos uma disposição linear dos n blocos, haveria n! permutações. Como configurações que difiram por uma rotação válida (múltiplo de 2 assentos) são consideradas iguais, dividimos por n. Assim, o número de arranjos circulares de blocos vale\r
\frac{n!}{n} \;=\;(n-1)!.

Passo 5

Finalmente, lembramos das 2 orientações globais (M–W ou W–M). Multiplicamos por 2:\r
\text{Total} \;=\;2\,(n-1)!.

Resposta

2\,(n-1)!

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