Determine \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) utilizando a definição de derivada parcial.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f\) no ponto \((0,0)\) usando a definição. A função é dada por:
\[f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{\sin\!\bigl(x^{3}+y^{4}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas explícitas são:
Determinar \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)\] pela definição de derivada parcial.
- Determinar \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) pela definição de derivada parcial.
As informações relevantes do enunciado que vamos usar:
A expressão de f(x,y) quando y=0 (com x\neq0) é \dfrac{\sin(x^3)}{x^2}.
A expressão de f(x,y) quando x=0 (com y\neq0) é \dfrac{\sin(y^4)}{y^2}.
O valor em (0,0) é f(0,0)=0.]
Passo 2
Recordando a definição de derivada parcial (a coisa mais importante aqui): a derivada parcial de f em (0,0) em relação a x é o limite
Isto significa: para \partial f/\partial x fixamos y=0 e vemos a variação de f quando x muda; para \partial f/\partial y fixamos x=0 e vemos a variação quando y muda. Vamos calcular cada limite diretamente e com cuidado.