Questão 9. Considere a função definida por partes:
f(x, y)= \begin{cases}\frac{\operatorname{sen}\left(x^{3}+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
Determine \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) utilizando a definição de derivada parcial.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de f\) no ponto \((0,0)\) usando a definição. A função é dada por: \[f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{\sin\!\bigl(x^{3}+y^{4}\bigr)}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas explícitas são:
  • Determinar \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)\] pela definição de derivada parcial. - Determinar \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) pela definição de derivada parcial.
As informações relevantes do enunciado que vamos usar:
  • A expressão de f(x,y) quando y=0 (com x\neq0) é \dfrac{\sin(x^3)}{x^2}.
  • A expressão de f(x,y) quando x=0 (com y\neq0) é \dfrac{\sin(y^4)}{y^2}.
  • O valor em (0,0) é f(0,0)=0.]

Passo 2

Recordando a definição de derivada parcial (a coisa mais importante aqui): a derivada parcial de f em (0,0) em relação a x é o limite
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},
e em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Isto significa: para \partial f/\partial x fixamos y=0 e vemos a variação de f quando x muda; para \partial f/\partial y fixamos x=0 e vemos a variação quando y muda. Vamos calcular cada limite diretamente e com cuidado.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0).
Para h\neq0 temos, pegando y=0,
f(h,0)=\frac{\sin(h^{3})}{h^{2}}.
Aplicando a definição:
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{\dfrac{\sin(h^{3})}{h^{2}}-0}{h}=\frac{\sin(h^{3})}{h^{3}}.
Agora usamos um limite padrão do cálculo: se \,t\to0 então \dfrac{\sin t}{t}\to1. Faço a substituição t=h^{3}. Quando h\to0 também t\to0, então
\lim_{h\to0}\frac{\sin(h^{3})}{h^{3}}=\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1.
(Dica didática rápida: a razão \sin t/t\to1 vem da aproximação para pequenos t de que \sin t\approx t.)

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).
Para k\neq0 com x=0 temos
f(0,k)=\frac{\sin(k^{4})}{k^{2}}.
A diferença quociente é
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{\dfrac{\sin(k^{4})}{k^{2}}-0}{k}=\frac{\sin(k^{4})}{k^{3}}.
Reescrevemos essa expressão de forma útil:
\frac{\sin(k^{4})}{k^{3}}=\left(\frac{\sin(k^{4})}{k^{4}}\right)\cdot k.
Novamente sabemos que \dfrac{\sin t}{t}\to1 quando t\to0. Aqui tome t=k^{4}; quando k\to0 então t\to0 e \dfrac{\sin(k^{4})}{k^{4}}\to1. Assim
\lim_{k\to0}\frac{\sin(k^{4})}{k^{3}}=\left(\lim_{k\to0}\frac{\sin(k^{4})}{k^{4}}\right)\cdot\left(\lim_{k\to0}k\right)=1\cdot 0=0.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0

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