Questão 02 - No instante t=0, o vetor posição de uma partícula que se move no plano x - y é \vec{r}=5 \vec{i} \mathrm{~m}. No instante t=0,02 \mathrm{~s}, seu vetor posição tornou-se 5,1 \vec{i}+0,4 \vec{j} \mathrm{~m}. Determine o módulo v_{m d} de sua velocidade média durante este intervalo e o ângulo \theta formado pela velocidade média com o semieixo x positivo.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em dois instantes e pede o módulo da velocidade média e o ângulo que essa velocidade média faz com o semieixo x positivo. Dados fornecidos:
\vec{r}_1 = 5\vec{i}\\ \mathrm{m}\quad\text{no instante }t_1=0
\vec{r}_2 = 5{,}1\vec{i}+0{,}4\vec{j}\\ \mathrm{m}\quad\text{no instante }t_2=0{,}02\\ \mathrm{s}
Perguntas:
  1. Determinar o módulo v_{md} da velocidade média durante o intervalo [0,0{,}02] s.
  2. Determinar o ângulo \theta que a velocidade média forma com o semieixo x positivo.

Passo 2

Definição e ideia de solução (aula curta e prática). A velocidade média vetorial é dada por
\vec{v}_{md}=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t},
onde \Delta\vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1 é o deslocamento e \Delta t=t_2-t_1 é o intervalo de tempo. O módulo da velocidade média é |\vec{v}_{md}|=\dfrac{|\Delta\vec{r}|}{\Delta t}. O ângulo \theta com o eixo x é obtido por
\theta=\arctan\!\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right),
lembrando de verificar em que quadrante o vetor deslocamento está para escolher o ângulo correto.

Passo 3

Calcular o deslocamento \Delta\vec{r}. Subtraímos componente a componente:
\Delta\vec{r}=\vec{r}_2-\vec{r}_1=(5{,}1-5)\vec{i}+(0{,}4-0)\vec{j}.
Logo,
\Delta\vec{r}=0{,}1\vec{i}+0{,}4\vec{j}\\ \mathrm{m}.
Explicação: fizemos uma conta simples em cada direção x e y. A componente x cresceu 0{,}1 m e a y cresceu 0{,}4 m.

Passo 4

Calcular o intervalo de tempo \Delta t:
\Delta t = t_2-t_1 = 0{,}02-0 = 0{,}02\\ \mathrm{s}.
Isso é o tempo durante o qual ocorreu o deslocamento acima.

Passo 5

Calcular a velocidade média vetorial \vec{v}_{md} dividindo cada componente do deslocamento por \Delta t:
\vec{v}_{md}=\frac{0{,}1\vec{i}+0{,}4\vec{j}}{0{,}02} = \left(\frac{0{,}1}{0{,}02}\right)\vec{i}+\left(\frac{0{,}4}{0{,}02}\right)\vec{j}.
Fazendo as divisões:
\vec{v}_{md}=5\vec{i}+20\vec{j}\\ \mathrm{m/s}.
Comentário: aqui calculamos as componentes v_x e v_y da velocidade média; são fáceis de encontrar dividindo deslocamento pelo tempo.

Passo 6

Calcular o módulo |\vec{v}_{md}| usando o teorema de Pitágoras (porque as componentes formam um triângulo retângulo):
|\vec{v}_{md}|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}=\sqrt{5^{2}+20^{2}}.
Calculando:
|\vec{v}_{md}|=\sqrt{25+400}=\sqrt{425}.
Aproximando \sqrt{425}: podemos fatorar 425=25\cdot17, então \sqrt{425}=5\sqrt{17}. Numérica:
|\vec{v}_{md}|\approx 5\sqrt{17}\approx 20{,}6\\ \mathrm{m/s}.
Explicação adicional: usei a propriedade \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} para escrever 5\sqrt{17}; se quiser calcular sem calculadora, saiba que \sqrt{16}=4 e \sqrt{17} é um pouco maior, então 5\cdot4{,}123\approx20{,}6.

Passo 7

Calcular o ângulo \theta com o semieixo x positivo usando a tangente:
\theta=\arctan\!\left(\frac{v_y}{v_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{20}{5}\right)=\arctan(4).
Verificação do quadrante: v_x=5>0 e v_y=20>0, então o vetor está no primeiro quadrante e \arctan(4) já dá o ângulo correto entre 0^\circ e 90^\circ. Aproximação:
\theta\approx 76{,}0^\circ.
Explicação: \arctan(4) é o ângulo cuja tangente é 4. Se não tiver calculadora, lembre que \tan(75^\circ)\approx3{,}732 e \tan(76^\circ)\approx4{,}01, então o ângulo fica muito próximo de 76^\circ.

Resposta

v_{md}\approx 20{,}6\\ \mathrm{m/s}
\theta\approx 76{,}0^\circ

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