Questão 16
Uma tubulação está sendo dimensionada para conduzir esterco bovino hidratado com viscosidade de 5,6 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} para uma esterqueira. Esta tubulação deverá ser construída com tubos de aço inox (\varepsilon=0,15 \mathrm{~mm}) de 200 mm e a expectativa de que seja possível uma vazão de 159 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h}. Diante destas informações, qual deverá ser a perda de carga que ocorrerá a cada metro de tubulação?

Passo 1

O enunciado pede: determinar a perda de carga (cabeça perdida) que ocorre a cada metro da tubulação, dada a tubulação e a vazão. Dados fornecidos:
\text{viscosidade cinemática } \nu = 5{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}á
\text{rugosidade absoluta } \varepsilon = 0{,}15\\ \mathrm{mm} = 0{,}00015\\ \mathrm{m}
\text{diâmetro interno } D = 200\\ \mathrm{mm} = 0{,}2\\ \mathrm{m}â
\text{vazão } Q = 159\\ \mathrm{m^3/h}ã
Pergunta clara: qual a perda de carga por metro de tubulação (ou seja, h_f em metros de coluna d’água por metro de tubo)?

Passo 2

Primeiro converto unidades para o SI e calculo a vazão em \mathrm{m^3/s}:
Q = \frac{159}{3600}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}0441666\ldots\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 3

Calculo a área da seção transversal e a velocidade média v. Fórmula da área de um círculo:
A = \frac{\pi D^2}{4}.
Substituindo:
A = \frac{\pi (0{,}2)^2}{4} = \pi \cdot 0{,}01 = 0{,}0314159265\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade média:
v = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}0441666\ldots}{0{,}0314159265} \approx 1{,}4059\\ \mathrm{m/s}.
Explicação curta: v é o escoamento médio que usamos para caracterizar regime e perdas; Q espalha-se pela área A.

Passo 4

Calculo o número de Reynolds \mathrm{Re} para classificar o regime:
\mathrm{Re}=\frac{vD}{\nu}.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{1{,}4059\times 0{,}2}{5{,}6\times 10^{-5}}\approx 5021.
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 5{,}0\times 10^{3}, ou seja, acima de 2300 — fluxo fora da zona estritamente laminar; estamos em região de transição/turbulência baixa. Para calcular perdas usamos fórmulas para fluxo turbulento (ou fórmulas que funcionam em toda a faixa turbulenta), pois a presença de rugosidade é relevante.

Passo 5

Calculo a rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{0{,}00015}{0{,}2}=0{,}00075.
Esse valor indica rugosidade pequena mas não desprezível; para \mathrm{Re} da ordem de 5\times10^3 e essa rugosidade relativa, a contribuição da rugosidade ao fator de atrito deve ser considerada.

Passo 6

Escolho uma fórmula para obter o fator de atrito f. A alternativa exata é a equação implícita de Colebrook; para cálculo rápido em prova usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain (válida para escoamento turbulento moderado/alto e é uma boa aproximação também para \mathrm{Re} da ordem de 10^3 a 10^8). A vantagem: dá f diretamente sem iteração. Por isso vou usar Swamee–Jain.

Passo 7

Apresento a fórmula de Swamee–Jain e explico variáveis:
f = 0{,}25\Biggl[\log_{10}\!\biggl(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\biggr)\Biggr]^{-2},
onde f é o fator de atrito de Darcy (adimensional), \varepsilon é a rugosidade absoluta (m), D é o diâmetro (m) e \mathrm{Re} é o número de Reynolds (adimensional).

Passo 8

Substituo os números na fórmula passo a passo:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{0{,}00015}{3{,}7\times 0{,}2}=\frac{0{,}00015}{0{,}74}\approx 0{,}0002027.
\mathrm{Re}^{0{,}9}\approx 5021^{0{,}9}\approx 2148{,}9\quad\Rightarrow\quad\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx\frac{5{,}74}{2148{,}9}\approx 0{,}0026712.
Somando os termos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 0{,}0002027+0{,}0026712=0{,}0028739.
Agora o logaritmo:
\log_{10}(0{,}0028739)\approx -2{,}54114.
Finalmente:
f=0{,}25\bigl(-2{,}54114\bigr)^{-2}=0{,}25/(6{,}4594)\approx 0{,}03870.
Comentário: f\approx 0{,}0387. É um valor razoável para escoamento turbulento com rugosidade pequena.

Passo 9

Uso a equação de Darcy–Weisbach para perda de carga por comprimento (a perda de carga por metro, com L=1\\ \mathrm{m}):
h_f = f\frac{L}{D}\cdot\frac{v^2}{2g}.
Aqui h_f é a perda de carga em metros (de coluna d’água), L é o comprimento (m), D é o diâmetro (m), v é a velocidade média (m/s) e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} é a gravidade.

Passo 10

Calculo v^2/(2g) e então h_f para L=1\\ \mathrm{m}:
\frac{v^2}{2g}=\frac{(1{,}4059)^2}{2\times 9{,}81}=\frac{1{,}9766}{19{,}62}\approx 0{,}100741\\ \mathrm{m}.
\frac{L}{D}=\frac{1}{0{,}2}=5.
h_f = 0{,}03870\times 5\times 0{,}100741 \approx 0{,}01949\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a perda de carga é aproximadamente 0{,}0195\\ \mathrm{m} por metro de tubulação, ou seja cerca de 1{,}95\\ \mathrm{cm} de coluna d’água por metro de tubo.

Resposta

0{,}0195\\ \mathrm{m/m}

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