Questão 17.

Ache a solução geral em potências de x de
\left(x^{2}-1\right) y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+y=0
Ache também a solução particular y(0)=4, y^{\prime}(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede a solução em série de potências centrada em x=0 da equação
(x^{2}-1)\,y''+3x\,y'+y=0,
com as condições iniciais y(0)=4 e y'(0)=1.
Conteúdo: método da série de potências em ponto ordinário.

Passo 2

Suponha
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},\quad y'=\sum_{n=0}^{\infty}n\,a_{n}x^{n-1},\quad y''=\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2}.
Então
x^{2}y''=\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n},
-\,y''=-\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2} =-\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n},
3x\,y'=\sum_{n=0}^{\infty}3n\,a_{n}x^{n},\quad y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.
Somando e igualando a zero o coeficiente de x^{n}, obtém-se
n(n-1)a_{n} - (n+2)(n+1)a_{n+2} +3n\,a_{n}+a_{n}=0.

Passo 3

Reunindo os termos em a_{n} e isolando a_{n+2},
\bigl[n(n-1)+3n+1\bigr]a_{n}=(n+2)(n+1)a_{n+2} \quad\Longrightarrow\quad (n+1)^{2}a_{n}=(n+2)(n+1)a_{n+2}
\boxed{a_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}\,a_{n},\quad n\ge0.}

Passo 4

Separando em termos pares e ímpares:
1. Para n=2k,
a_{2k+2}=\frac{2k+1}{2k+2}\,a_{2k} \quad\Longrightarrow\quad a_{2k} =\prod_{j=0}^{k-1}\frac{2j+1}{2j+2}\;a_{0} =\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^{2}}\,a_{0}.
2. Para n=2k+1,
a_{2k+3}=\frac{2k+2}{2k+3}\,a_{2k+1} \quad\Longrightarrow\quad a_{2k+1} =\prod_{j=0}^{k-1}\frac{2j+2}{2j+3}\;a_{1} =\frac{4^{k}(k!)^{2}}{(2k+1)!}\,a_{1}.

Passo 5

Logo a solução geral em série é
y(x) =a_{0}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^{2}}\,x^{2k} \;+\; a_{1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4^{k}(k!)^{2}}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}.

Passo 6

Das condições iniciais:
y(0)=a_{0}=4, \quad y'(0)=a_{1}=1.
Substituindo em cada soma, obtemos a solução particular:
y(x) =4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^{2}}\,x^{2k} \;+\; \sum_{k=0}^{\infty}\frac{4^{k}(k!)^{2}}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}.

Resposta

A solução geral é
y(x) =a_{0}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^{2}}\,x^{2k} \;+\; a_{1}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{4^{k}(k!)^{2}}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}.
A solução que satisfaz y(0)=4, y'(0)=1 é
y(x) =4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^{2}}\,x^{2k} \;+\; \sum_{k=0}^{\infty}\frac{4^{k}(k!)^{2}}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}.

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