Questão 17. Calcule \int f(x) d x onde f é dada abaixo:
f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+4 x+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int f(x)\,dx
onde
f(x)=\frac{x^{3}}{x^{2}+4x+3}\,.
Este é um problema de integração de função racional. Para resolver, vamos usar divisão de polinômios para obter um polinômio mais uma fração própria e depois aplicar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazemos a divisão de x^{3} pelo polinômio x^{2}+4x+3:
\frac{x^{3}}{x^{2}+4x+3} = x - 4 + \frac{13x+12}{x^{2}+4x+3}.
Isso porque
x^{3} = (x-4)(x^{2}+4x+3) + (13x+12).

Passo 3

Agora decompondo a parte própria
\frac{13x+12}{x^{2}+4x+3} = \frac{13x+12}{(x+1)(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x+3}.
Temos
A(x+3)+B(x+1)=13x+12
o que leva ao sistema
\begin{cases} A + B = 13,\\\\ 3A + B = 12. \end{cases}
Daí 2A = -1, logo A=-\tfrac12 e B=13-(-\tfrac12)=\tfrac{27}{2}.

Passo 4

Reescrevendo a integral,
\int \frac{x^{3}}{x^{2}+4x+3}\,dx = \int\Bigl(x - 4\Bigr)\,dx + \int\Bigl(-\tfrac12\cdot\frac{1}{x+1} + \tfrac{27}{2}\cdot\frac{1}{x+3}\Bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int(x-4)\,dx = \frac{x^{2}}{2} - 4x,
\int -\tfrac12\cdot\frac{1}{x+1}\,dx = -\tfrac12\ln\lvert x+1\rvert,
\int \tfrac{27}{2}\cdot\frac{1}{x+3}\,dx = \tfrac{27}{2}\ln\lvert x+3\rvert.

Resposta

\int \frac{x^{3}}{x^{2}+4x+3}\,dx = \frac{x^{2}}{2} - 4x - \tfrac12\ln\lvert x+1\rvert + \tfrac{27}{2}\ln\lvert x+3\rvert + C.

Exercícios relacionados