Questão 17. Calcule
onde
é dada abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva da função
ou seja,
O conteúdo principal aqui é usar integração por partes para reduzir essa integral de logaritmo, e depois integrar uma razão de polinômios, onde faremos divisão de polinômios e, por fim, completaremos o quadrado para obter um arco-tangente.
Passo 2
Aplicamos integração por partes escolhendo
Então
Pela fórmula
temos
Passo 3
No segundo termo, o integrando é
Fazemos divisão de polinômios escrevendo
portanto
Isso separa a integral em duas partes:
Passo 4
Integramos a parte fácil:
Agora cuidamos de
Escrevemos
como combinação de
(derivada do denominador) mais constante:
Igualando coeficientes:
Logo
Passo 5
Integramos cada termo:
-
-
Para
, completamos o quadrado:
Então
Multiplicando por
dá
Passo 6
Reunindo tudo:
Voltando à integração por partes,
Agrupando termos semelhantes fica