Questão 17. Calcule \int f(x) d x onde f é dada abaixo:
f(x)=\ln \left(x^{2}-x+2\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva da função
f(x)=\ln\bigl(x^{2}-x+2\bigr)
ou seja,
\int \ln\bigl(x^{2}-x+2\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar integração por partes para reduzir essa integral de logaritmo, e depois integrar uma razão de polinômios, onde faremos divisão de polinômios e, por fim, completaremos o quadrado para obter um arco-tangente.

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u = \ln\bigl(x^{2}-x+2\bigr), \quad dv = dx.
Então
du = \frac{2x-1}{x^{2}-x+2}\,dx, \quad v = x.
Pela fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
temos
\int \ln\bigl(x^{2}-x+2\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(x^{2}-x+2\bigr) - \int x\cdot\frac{2x-1}{x^{2}-x+2}\,dx.

Passo 3

No segundo termo, o integrando é
\frac{x(2x-1)}{x^{2}-x+2} = \frac{2x^{2}-x}{x^{2}-x+2}.
Fazemos divisão de polinômios escrevendo
2x^{2}-x = 2\bigl(x^{2}-x+2\bigr) + (x-4),
portanto
\frac{2x^{2}-x}{x^{2}-x+2} = 2 + \frac{x-4}{x^{2}-x+2}.
Isso separa a integral em duas partes:
\int \frac{2x^{2}-x}{x^{2}-x+2}\,dx = \int 2\,dx + \int \frac{x-4}{x^{2}-x+2}\,dx.

Passo 4

Integramos a parte fácil:
\int 2\,dx = 2x.
Agora cuidamos de
\int \frac{x-4}{x^{2}-x+2}\,dx.
Escrevemos x-4 como combinação de 2x-1 (derivada do denominador) mais constante:
x-4 = A(2x-1) + B.
Igualando coeficientes:
2A = 1 \implies A=\tfrac12, \quad -\,A + B = -4 \implies B=-\tfrac72.
Logo
\frac{x-4}{x^{2}-x+2} = \frac12\cdot\frac{2x-1}{x^{2}-x+2} -\frac72\cdot\frac{1}{x^{2}-x+2}.

Passo 5

Integramos cada termo:
  1. \displaystyle \frac12\int \frac{2x-1}{x^{2}-x+2}\,dx = \frac12 \ln\bigl(x^{2}-x+2\bigr).
  2. Para \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}-x+2}, completamos o quadrado:
x^{2}-x+2 = \Bigl(x-\tfrac12\Bigr)^{2} + \frac{7}{4}.
Então
\int \frac{dx}{x^{2}-x+2} = \int \frac{dx}{(x-\tfrac12)^{2}+(\tfrac{\sqrt7}{2})^{2}} = \frac{2}{\sqrt7}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt7}\Bigr).
Multiplicando por -\tfrac72
-\frac72\cdot\frac{2}{\sqrt7}\,\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt7}\Bigr) = -\sqrt7\;\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt7}\Bigr).

Passo 6

Reunindo tudo:
\int \frac{2x^{2}-x}{x^{2}-x+2}\,dx = 2x + \frac12 \ln\bigl(x^{2}-x+2\bigr) - \sqrt7\,\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt7}\Bigr).
Voltando à integração por partes,
\int \ln\bigl(x^{2}-x+2\bigr)\,dx = x\,\ln\bigl(x^{2}-x+2\bigr) - \Bigl[2x + \tfrac12 \ln\bigl(x^{2}-x+2\bigr) - \sqrt7\,\arctan\!\bigl(\tfrac{2x-1}{\sqrt7}\bigr)\Bigr] + C.
Agrupando termos semelhantes fica
\bigl(x-\tfrac12\bigr)\ln\bigl(x^{2}-x+2\bigr) -2x + \sqrt7\,\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt7}\Bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int \ln\bigl(x^{2}-x+2\bigr)\,dx = \Bigl(x-\tfrac12\Bigr)\ln\bigl(x^{2}-x+2\bigr) -2x + \sqrt7\;\arctan\!\Bigl(\frac{2x-1}{\sqrt7}\Bigr) + C }.

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