Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
;
;
.
Passo 1
O enunciado dá a EDO homogênea de ordem quatro
e fornece quatro funções
para mostrar que formam um conjunto fundamental de soluções. Em seguida pede-se a solução geral e a resolução do problema de valor inicial
O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes; vamos usar o polinômio característico e combinação linear para obter a solução geral.
Passo 2
Montamos o polinômio característico
cujo conjunto de raízes é
Da teoria, isso gera duas soluções lineares independentes associadas a
, que são
e
, e duas soluções oscilatórias
e
para
. Logo
é de fato um conjunto fundamental de soluções da EDO, conforme pedido.
Passo 3
A solução geral da EDO é a combinação linear das quatro soluções independentes:
onde
são constantes a determinar pelo PVI.
Passo 4
Calculamos as derivadas até a ordem três:
Passo 5
Impondo as condições em
, usando
e
:
-
dá -
dá -
dá -
dá
Substituindo
e
na primeira equação resulta
Resposta
A solução do PVI é