Verifique que as funções dadas formam em cada caso um conjunto completo de soluções para a EDO correspondente. Escreva a solução geral em cada caso e resolva o PVI dado:
y^{\prime \prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=0; y(\pi)=0, y^{\prime}(\pi)=0, y^{\prime \prime}(\pi)=1, y^{\prime \prime \prime}(\pi)=0; y_{1}(x)=1, y_{2}(x)=x, y_{3}(x)=\operatorname{sen} x, y_{4}(x)= \cos x.

Passo 1

O enunciado dá a EDO homogênea de ordem quatro
y'''' + y'' = 0
e fornece quatro funções
y_{1}(x)=1,\quad y_{2}(x)=x,\quad y_{3}(x)=\sin x,\quad y_{4}(x)=\cos x
para mostrar que formam um conjunto fundamental de soluções. Em seguida pede-se a solução geral e a resolução do problema de valor inicial
y(\pi)=0,\quad y'(\pi)=0,\quad y''(\pi)=1,\quad y'''(\pi)=0.
O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes; vamos usar o polinômio característico e combinação linear para obter a solução geral.

Passo 2

Montamos o polinômio característico
r^{4}+r^{2}=r^{2}(r^{2}+1)=0,
cujo conjunto de raízes é
r=0\\ (\text{dupla}),\quad r=i,\quad r=-i.
Da teoria, isso gera duas soluções lineares independentes associadas a r=0, que são 1 e x, e duas soluções oscilatórias \sin x e \cos x para r=\pm i. Logo
\{\,1,\;x,\;\sin x,\;\cos x\}
é de fato um conjunto fundamental de soluções da EDO, conforme pedido.

Passo 3

A solução geral da EDO é a combinação linear das quatro soluções independentes:
y(x) = C_{1} + C_{2}\,x + C_{3}\,\sin x + C_{4}\,\cos x,
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes a determinar pelo PVI.

Passo 4

Calculamos as derivadas até a ordem três:
y'(x) = C_{2} + C_{3}\,\cos x - C_{4}\,\sin x,
y''(x) = -\,C_{3}\,\sin x - C_{4}\,\cos x,
y'''(x) = -\,C_{3}\,\cos x + C_{4}\,\sin x.

Passo 5

Impondo as condições em x=\pi, usando \sin\pi=0 e \cos\pi=-1:
  1. y(\pi)=0
    C_{1} + C_{2}\,\pi + C_{3}\cdot0 + C_{4}\,(-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{1} + C_{2}\,\pi - C_{4}=0.
  2. y'(\pi)=0
    C_{2} + C_{3}\,(-1) - C_{4}\cdot0=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{2} - C_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=C_{3}.
  3. y''(\pi)=1
    -\,C_{3}\cdot0 - C_{4}\,(-1)=1 \quad\Longrightarrow\quad C_{4}=1.
  4. y'''(\pi)=0
    -\,C_{3}\,(-1) + C_{4}\cdot0=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{3}=0 \quad\Longrightarrow\quad C_{2}=0.
Substituindo C_{2}=C_{3}=0 e C_{4}=1 na primeira equação resulta
C_{1} + 0 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_{1}=1.

Resposta

A solução do PVI é
\boxed{y(x) = 1 + \cos x.}

Exercícios relacionados