Encontre uma solução particular para a equação diferencial y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=x^{2} e^{-3 x}+\operatorname{sen}(3 x)

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação
y'' + 3y' = x^{2}e^{-3x} + \sin(3x).
Vamos usar o método de coeficientes a determinar, decompondo a parte não homogênea em duas parcelas:
  1. x^{2}e^{-3x}
  2. \sin(3x).

Passo 2

Trato primeiro o termo \sin(3x). Proponho
y_{p2} = A\cos(3x) + B\sin(3x).
Então
y_{p2}' = -3A\sin(3x) + 3B\cos(3x), \quad y_{p2}'' = -9A\cos(3x) -9B\sin(3x).

Passo 3

Aplico L[y]=y''+3y'] em y_{p2}:
y_{p2}'' + 3y_{p2}' = \bigl(-9A\cos(3x)-9B\sin(3x)\bigr) +3\bigl(-3A\sin(3x)+3B\cos(3x)\bigr)
= \bigl(-9A+9B\bigr)\cos(3x) + \bigl(-9B-9A\bigr)\sin(3x).
Igualando a \sin(3x), obtemos o sistema
-9A + 9B = 0, \quad -9B -9A = 1.
Daí B=A e -18A=1, logo
A = B = -\tfrac{1}{18}.
Portanto
y_{p2} = -\tfrac{1}{18}\cos(3x)\;-\;\tfrac{1}{18}\sin(3x).

Passo 4

Agora trato o termo x^{2}e^{-3x}. Escrevo
y_{p1} = u(x)\,e^{-3x},
onde u é um polinômio. Como e^{-3x} é raiz simples do operador homogêneo, escolho
u(x)=Ax^{3}+Bx^{2}+Cx.
Usando
y_{p1}'=(u'-3u)e^{-3x}, \quad y_{p1}''=(u''-6u'+9u)e^{-3x},
segue
y_{p1}''+3y_{p1}'=(u''-3u')\,e^{-3x}.
Imponho
u'' - 3u' = x^{2}.
Como
u' = 3Ax^{2}+2Bx+C, \quad u'' = 6Ax+2B,
temos
u''-3u' = (6Ax+2B) -3(3Ax^{2}+2Bx+C) = -9A\,x^{2} + (6A-6B)x + (2B-3C).
Para que isso seja x^{2} basta igualar coeficientes:
-9A = 1,\quad 6A -6B = 0,\quad 2B -3C = 0.
Daí
A = -\tfrac{1}{9}, \quad B = -\tfrac{1}{9}, \quad C = -\tfrac{2}{27}.
Logo
u(x)=-\tfrac{1}{9}x^{3}-\tfrac{1}{9}x^{2}-\tfrac{2}{27}x,
e
y_{p1}=\Bigl(-\tfrac{1}{9}x^{3}-\tfrac{1}{9}x^{2}-\tfrac{2}{27}x\Bigr)e^{-3x}.

Passo 5

A solução particular procurada é a soma das duas partes:
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x).

Resposta

y_{p}(x) =\Bigl(-\tfrac{1}{9}x^{3}-\tfrac{1}{9}x^{2}-\tfrac{2}{27}x\Bigr)e^{-3x} \;-\;\tfrac{1}{18}\bigl(\cos(3x)+\sin(3x)\bigr).

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