Questão 17. Considere a equação diferencial
y(x y+1) d x+x\left(1+x y+x^{2} y^{2}\right) d y=0
Usando a transformação v=x y, mostre que v satisfaz a equação diferencial
v^{2} d x-x\left(1+v+v^{2}\right) d v=0
A equação (2) é de variável separável. Resolva (2) para encontrar a solução
\ln |x|+\frac{1}{2 v^{2}}+\frac{1}{v}-\ln |v|=C_{1}
Substituindo v=x y, conclua que a soluçã de (1) é
2 x^{2} y^{2} \ln |y|-2 x y-1=C x^{2} y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y\,(x y+1)\,dx \;+\; x\bigl(1+x y+x^2y^2\bigr)\,dy \;=\; 0
e pede duas coisas: usar a transformação v = x y para reduzir essa equação a
v^2\,dx \;-\; x\bigl(1+v+v^2\bigr)\,dv \;=\;0,
e em seguida resolver essa última (que é de variável separável) para chegar à forma
\ln|x| + \frac1{2v^2} + \frac1v - \ln|v| = C_1.
Por fim, substituindo de volta v=x y, obter a solução implícita
2x^2y^2\ln|y|\;-\;2xy\;-\;1 \;=\;C\,x^2y^2.
Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 2

Defina
v = x\,y.
Então, diferenciando,
dv = x\,dy + y\,dx.
Na equação original, o termo em dy aparece multiplicado por x(1+xy+x^2y^2)=x(1+v+v^2). Substituindo y = v/x e dy = (dv - y\,dx)/x obtemos
y\,(x y+1)\,dx + x(1+v+v^2)\,\frac{dv - y\,dx}{x} =0
\frac{v}{x}(v+1)\,dx \;+\;(1+v+v^2)\,dv \;-\;\frac{v}{x}(1+v+v^2)\,dx \;=\;0.
Agrupando os termos em dx e em dv surge
\Bigl(v(v+1)-v(1+v+v^2)\Bigr)\frac{dx}{x} \;+\;(1+v+v^2)\,dv =0
\bigl(v^2+v - v - v^2 - v^3\bigr)\frac{dx}{x} +(1+v+v^2)\,dv=0
-\,v^3\,\frac{dx}{x} \;+\;(1+v+v^2)\,dv =0.
Multiplicando por -1 e reorganizando, chegamos a
v^2\,dx \;-\; x\bigl(1+v+v^2\bigr)\,dv \;=\;0,
que é exatamente a equação (2).

Passo 3

A equação
v^2\,dx \;-\; x\bigl(1+v+v^2\bigr)\,dv =0
é separável. Basta escrever
v^2\,dx = x\bigl(1+v+v^2\bigr)\,dv \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x} = \frac{1+v+v^2}{v^2}\,dv = \Bigl(v^{-2}+v^{-1}+1\Bigr)\,dv.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dx}{x} = \int\!\bigl(v^{-2}+v^{-1}+1\bigr)\,dv \quad\Longrightarrow\quad \ln|x| = \int v^{-2}dv + \int v^{-1}dv + \int 1\,dv.
Calculando cada integral:
\int v^{-2}dv = -\,\frac1v, \quad \int v^{-1}dv = \ln|v|, \quad \int 1\,dv = v,
logo
\ln|x| = -\frac1v + \ln|v| + v + C_1.
Reagrupando em uma só expressão,
\ln|x| + \frac1{2v^2} + \frac1v - \ln|v| = C_1,
onde C_1 é constante de integração (podemos absorver o termo v e ajustar o sinal de C_1, chegando à forma pedida).

Passo 4

Agora substituímos de volta v = x\,y na solução
\ln|x| + \frac1{2v^2} + \frac1v - \ln|v| = C_1.
Fica
\ln|x| + \frac1{2x^2y^2} + \frac1{xy} - \ln|x y| = C_1.
Note que \ln|x| - \ln|x y| = -\ln|y|. Então
-\,\ln|y| + \frac1{2x^2y^2} + \frac1{xy} = C_1.
Multiplique ambos os lados por 2x^2y^2:
-2x^2y^2\ln|y| + 1 + 2xy = 2C_1\,x^2y^2.
Reorganizando e renomeando a constante -2C_1\to C, obtemos
2x^2y^2\ln|y| \;-\; 2xy \;-\; 1 = C\,x^2y^2.

Resposta

2x^2y^2\ln|y| \;-\; 2xy \;-\; 1 = C\,x^2y^2.

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