Questão 17. Considere a equação diferencial
Usando a transformação
, mostre que
satisfaz a equação diferencial
A equação (2) é de variável separável. Resolva (2) para encontrar a solução
Substituindo
, conclua que a soluçã de (1) é
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede duas coisas: usar a transformação
para reduzir essa equação a
e em seguida resolver essa última (que é de variável separável) para chegar à forma
Por fim, substituindo de volta
, obter a solução implícita
Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 2
Defina
Então, diferenciando,
Na equação original, o termo em
aparece multiplicado por
. Substituindo
e
obtemos
Agrupando os termos em
e em
surge
Multiplicando por
e reorganizando, chegamos a
que é exatamente a equação (2).
Passo 3
A equação
é separável. Basta escrever
Integramos ambos os lados:
Calculando cada integral:
logo
Reagrupando em uma só expressão,
onde
é constante de integração (podemos absorver o termo
e ajustar o sinal de
, chegando à forma pedida).
Passo 4
Agora substituímos de volta
na solução
Fica
Note que
. Então
Multiplique ambos os lados por
:
Reorganizando e renomeando a constante
, obtemos