Questão 17 (ITA) Sejam M e B matrizes quadradas de ordem n, tais que, M-M^{-1}-B. Sabendo que M^{t}=M^{-1}, mostre que B é uma matriz anti simétrica.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem n, M e B, que satisfazem
M - M^{-1} = B
e a condição
M^{t} = M^{-1}.
Queremos mostrar que B é antissimétrica, ou seja, que
B^{t} = -\,B.
Para isso, usaremos as propriedades de transposição e inversão de matrizes:
  1. (A + C)^{t} = A^{t} + C^{t},
  2. (A^{-1})^{t} = (A^{t})^{-1}.

Passo 2

Transpondo ambos os lados de \,M - M^{-1} = B, obtemos
B^{t} = (M - M^{-1})^{t} = M^{t} - (M^{-1})^{t}.

Passo 3

Pela hipótese M^{t} = M^{-1} e pela propriedade (M^{-1})^{t} = (M^{t})^{-1}, temos
M^{t} = M^{-1}, \quad (M^{-1})^{t} = (M^{t})^{-1}.

Passo 4

Como M^{t} = M^{-1} implica (M^{t})^{-1} = (M^{-1})^{-1} = M, segue
B^{t} = M^{t} - (M^{-1})^{t} = M^{-1} - M = -\,(M - M^{-1}) = -\,B.
Logo, B^{t} = -B.

Resposta

B é antissimétrica, pois satisfaz B^{t} = -B.

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