Questão 18 (ITA-05) Sejam
e
matrizes quadradas de ordem 2 tais que
e que satisfazem à equação matricial
. Se
é uma matriz inversível, mostre que
é uma matriz inversível e determine
.
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem 2,
e
, que comutam
, satisfazem
e
é inversível. O que precisamos mostrar é que
também é inversível e determinar sua inversa usando manipulação de polinômios matriciais e a comutatividade.
Passo 2
Como
e
é inversível, segue que
comuta com
. Então podemos multiplicar a equação
à direita por
sem alterar a ordem dos fatores. Obtemos
isto é,
Passo 3
Note que
. Defina
Substituindo na igualdade acima dá
ou seja
Passo 4
Como
comuta com
, também comuta com
e, portanto, com
. Isso garante que
é tanto inverso à direita quanto inverso à esquerda de
. Logo,
é inversível e