Questão 17. Uma máquina térmica pode operar como motor ou como refrigerador e está conectada a dois reservatórios térmicos, um à temperatura de 27.0^{\circ} \mathrm{C} (reservatório frio) outro a temperatura de 327^{\circ} \mathrm{C} (reservatório quente).
a) Quando funcionando como motor, qual a eficiência?

Passo 1

O enunciado dá duas temperaturas e pergunta a eficiência quando a máquina funciona como motor:
  • Temperatura do reservatório frio: 27{,}0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do reservatório quente: 327^\circ\mathrm{C}.
O que se pede: (a) a eficiência do motor nessas condições.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Definição de eficiência de um motor térmico: a eficiência \eta é a razão entre o trabalho útil entregue W e o calor extraído do reservatório quente Q_h:
\eta=\frac{W}{Q_h}=1-\frac{Q_c}{Q_h},
onde Q_c é o calor rejeitado ao reservatório frio.
  • Para um motor ideal reversível (motor de Carnot), as trocas de calor são proporcionais às temperaturas absolutas dos reservatórios, portanto vale
\frac{Q_c}{Q_h}=\frac{T_c}{T_h},
onde T_c e T_h são as temperaturas absolutas (em kelvin) do reservatório frio e quente, respectivamente.
  • Assim, a eficiência máxima (de Carnot) é
\eta_{\text{max}}=1-\frac{T_c}{T_h}.
Explicação das variáveis: T_c é a temperatura do reservatório frio em kelvin, T_h é a temperatura do reservatório quente em kelvin. É obrigatório usar kelvin porque a razão T_c/T_h só faz sentido com temperaturas na escala absoluta.

Passo 3

Converter as temperaturas dadas em graus Celsius para kelvin:
T = t(^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.
Portanto:
T_c = 27{,}0 + 273{,}15 = 300{,}15\\ \mathrm{K},
T_h = 327 + 273{,}15 = 600{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Aplicar a fórmula da eficiência de Carnot:
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} = 1 - \frac{300{,}15}{600{,}15}.
Vamos calcular a fração:
\frac{300{,}15}{600{,}15}=\frac{30015}{60015}\approx 0{,}5001249875.
Logo
\eta \approx 1 - 0{,}5001249875 = 0{,}4998750125.

Passo 5

Expressando em porcentagem e arredondando de forma adequada:
\eta \approx 0{,}499875 \approx 49{,}99\%.
Interpretação rápida e motivadora: isso significa que, mesmo num motor ideal entre essas temperaturas, no máximo cerca de metade da energia térmica retirada do reservatório quente pode ser convertida em trabalho — ou seja, eficiência praticamente 50\%. Bom resultado — foco e você vai tirar isso na prova!

Resposta

\eta \approx 0{,}499875 \approx 49{,}99\%

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