Questão 16. Considere duas porções do mesmo líquido com a mesma massa m , mas com temperaturas diferentes T e 2 T. As duas porções são misturadas e a mistura é mantida termicamente isolada. O calor específico do líquido é constante e dado por c. O sistema atinge o equilíbrio.
Qual a variação de entropia neste processo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
Dados (peguei direto do enunciado):
  • Duas porções do mesmo líquido, cada uma com massa \,m.
  • As temperaturas iniciais são \,T e \,2T.
  • O calor específico do líquido é constante e vale \,c.
  • A mistura é feita e o sistema é termicamente isolado (não troca calor com o ambiente). O sistema atinge um equilíbrio térmico final.
O que é pedido:
  • A variação de entropia total \,\Delta S do processo (da mistura/relaxamento até o equilíbrio).

Passo 2

Encontrar a temperatura final de equilíbrio \,T_f usando conservação de energia (1.º princípio). Explicando a ideia: como o sistema é termicamente isolado, o calor perdido por uma porção é igual ao calor ganho pela outra; em termos energéticos, a soma das energias internas iniciais deve igualar a soma das energias internas finais.
Para uma porção de massa \,m e calor específico constante \,c, a energia interna (variação associada à temperatura) é proporcional a \,m c T. Portanto:
m c \,T + m c \,(2T) = 2 m c \,T_f.
Agora resolvemos para \,T_f:
m c (T + 2T) = 2 m c \,T_f
m c (3T) = 2 m c \,T_f
T_f = \dfrac{3T}{2} = \tfrac{3}{2}T.

Passo 3

Explicar como calcular a variação de entropia de cada porção. Conceito e fórmula que vamos usar:
  • A entropia é uma função de estado; sua variação entre dois estados térmicos pode ser calculada por uma transformação reversível imaginária entre esses estados.
  • Para um corpo com capacidade térmica (à pressão constante ou internamente constante) C e temperatura variável, a variação de entropia ao mudar de \,T_i para \,T_f é
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Se o calor específico é constante e consideramos massa \,m, a capacidade térmica é C = m c e \delta Q_{\text{rev}} = C\,dT = m c\,dT. Assim a integral fica
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \dfrac{m c\,dT}{T} = m c \ln\!\left(\dfrac{T_f}{T_i}\right).
Observação importante (justificação): mesmo que a mistura real seja um processo irreversível, a entropia é função de estado; portanto podemos imaginar, apenas para calcular \Delta S, um caminho reversível (por exemplo, aquecer/resfriar cada porção reversivelmente até T_f). O valor de \Delta S obtido dessa forma é o mesmo que a variação real de entropia entre os estados inicial e final.

Passo 4

Calcular a variação de entropia da porção que começa em \,T. Aplicando a fórmula com T_i = T e T_f = \tfrac{3}{2}T:
\Delta S_1 = m c \ln\!\left(\dfrac{T_f}{T}\right) = m c \ln\!\left(\dfrac{\tfrac{3}{2}T}{T}\right) = m c \ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right).

Passo 5

Calcular a variação de entropia da porção que começa em \,2T. Aqui T_i = 2T e o mesmo T_f = \tfrac{3}{2}T:
\Delta S_2 = m c \ln\!\left(\dfrac{T_f}{2T}\right) = m c \ln\!\left(\dfrac{\tfrac{3}{2}T}{2T}\right) = m c \ln\!\left(\dfrac{3}{4}\right).

Passo 6

Somar as variações para obter a variação total de entropia do sistema (as duas porções juntas). Como entropia é extensiva, soma-se:
\Delta S = \Delta S_1 + \Delta S_2 = m c \ln\!\left(\tfrac{3}{2}\right) + m c \ln\!\left(\tfrac{3}{4}\right).
Usando propriedade dos logaritmos \ln a + \ln b = \ln(ab):
\Delta S = m c \ln\!\left(\tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{3}{4}\right) = m c \ln\!\left(\tfrac{9}{8}\right).

Passo 7

Interpretação e verificação rápida:
  • \tfrac{9}{8}=1{,}125, logo \ln\!\left(\tfrac{9}{8}\right)>0. Portanto \Delta S>0, compatível com a segunda lei (processo espontâneo irreversível aumenta a entropia).
  • Valor numérico aproximado:
\ln\!\left(\tfrac{9}{8}\right)\approx 0,1178,
portanto
\Delta S \approx 0{,}1178\,m c.

Resposta

\displaystyle \Delta S = m c \ln\!\left(\dfrac{9}{8}\right)
\displaystyle \Delta S \approx 0{,}1178\,m c

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