Questão 15. O motor de um refrigerador fornece uma potência de 100 watts. Lembre-se de que coeficiente de desempenho de um refrigerador é sempre medido com a razão do calor extraído da fonte fria pelo trabalho fornecido pelo motor desse refrigerador. Considerando que o congelador do refrigerador está a uma temperatura de 270 K e o ar ambiente está a uma temperatura de 300 K, e supondo um coeficiente de desempenho ideal, qual é a quantidade máxima de calor que pode ser extraída do congelador em um intervalo de tempo de \Delta t=10 \min ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma quantidade específica:
  • Potência fornecida pelo motor: \dot{W}=100\\ \mathrm{W}.
  • Temperatura do congelador (fonte fria): T_{c}=270\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura do ambiente (fonte quente): T_{h}=300\\ \mathrm{K}.
  • Intervalo de tempo: \Delta t=10\\ \text{min}.
O que o enunciado pede:
  • Qual é a quantidade máxima de calor que pode ser extraída do congelador no intervalo de tempo \Delta t. Ou seja, determinar Q_{\max} (energia térmica retirada do congelador em \Delta t), supondo coeficiente de desempenho ideal.

Passo 2

Definição do coeficiente de desempenho (COP) de um refrigerador e interpretação das variáveis.
  • O coeficiente de desempenho de um refrigerador é definido por
\mathrm{COP}\equiv\frac{Q_{c}}{W},
onde:
  • Q_{c} é a quantidade de calor extraída da fonte fria (por unidade de tempo, se falarmos de taxas).
  • W é o trabalho fornecido ao refrigerador (ou potência fornecida, no caso de taxas).
Explicando em palavras: a COP diz quantos joules de calor frio são removidos por cada joule de trabalho gasto. Quanto maior a COP, mais eficiente é o refrigerador (para a mesma potência de entrada, retira mais calor).

Passo 3

Fórmula do coeficiente de desempenho ideal (Carnot) para um refrigerador reversível e derivação curta.
Para um ciclo de Carnot reversível operando entre uma temperatura fria T_{c} e uma quente T_{h}, valem as relações típicas de ciclos reversíveis:
\frac{Q_{h}}{Q_{c}}=\frac{T_{h}}{T_{c}},
onde Q_{h} é o calor rejeitado à fonte quente. A conservação de energia (primeira lei) dá
W=Q_{h}-Q_{c}.
Substituindo na definição de COP:
\mathrm{COP}_{\rm ideal}=\frac{Q_{c}}{W}=\frac{Q_{c}}{Q_{h}-Q_{c}}=\frac{1}{\dfrac{Q_{h}}{Q_{c}}-1}.
Usando \dfrac{Q_{h}}{Q_{c}}=\dfrac{T_{h}}{T_{c}} obtemos a expressão conveniente:
\mathrm{COP}_{\rm ideal}=\frac{1}{\dfrac{T_{h}}{T_{c}}-1}=\frac{T_{c}}{T_{h}-T_{c}}.
Aqui cada símbolo significa:
  • T_{c}: temperatura absoluta (em kelvin) do reservatório frio.
  • T_{h}: temperatura absoluta (em kelvin) do reservatório quente.
  • \mathrm{COP}_{\rm ideal}: coeficiente de desempenho máximo possível (reversível/Carnot).

Passo 4

Calcular o \mathrm{COP}_{\rm ideal} com os números dados.
Substituindo T_{c}=270\\ \mathrm{K} e T_{h}=300\\ \mathrm{K} na fórmula de Carnot:
\mathrm{COP}_{\rm ideal}=\frac{T_{c}}{T_{h}-T_{c}}=\frac{270}{300-270}=\frac{270}{30}=9.
Interpretação curta: no melhor caso possível, cada joule de trabalho permite retirar 9 joules de calor do congelador.

Passo 5

Relacionar potência do motor com taxa de extração de calor.
A potência fornecida é \dot{W}=100\\ \mathrm{W} (joule por segundo). Para operação estacionária a taxa máxima de calor extraída da fonte fria é
\dot{Q}_{c,\max}=\mathrm{COP}_{\rm ideal}\cdot\dot{W}.
Substituindo \mathrm{COP}_{\rm ideal}=9 e \dot{W}=100\\ \mathrm{W}:
\dot{Q}_{c,\max}=9\cdot100=900\\ \mathrm{W}.
Isso significa que, no regime estacionário ideal, o refrigerador pode retirar 900 joules por segundo do congelador.

Passo 6

Converter o intervalo de tempo e calcular a energia total extraída.
Primeiro, converter \Delta t para segundos:
\Delta t=10\\ \text{min}=10\times60=600\\ \mathrm{s}.
A energia total máxima extraída em \Delta t é
Q_{\max}=\dot{Q}_{c,\max}\,\Delta t=900\\ \mathrm{W}\times600\\ \mathrm{s}.
Calculemos:
Q_{\max}=900\times600=540000\\ \mathrm{J}.
Em unidades mais usuais:
Q_{\max}=5{,}4\times10^{5}\\ \mathrm{J}=540\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Resumo e interpretação final curta (vamo que vamo — você tá indo bem!).
  • Com um refrigerador ideal operando entre 270\\ \mathrm{K} e 300\\ \mathrm{K}, a COP máxima é 9.
  • Com 100\\ \mathrm{W} de potência, a taxa máxima de extração é 900\\ \mathrm{W}.
  • Em 10 minutos ( 600\\ \mathrm{s}) a energia total máxima extraída do congelador é 5{,}4\times10^{5}\\ \mathrm{J} (ou 540\\ \mathrm{kJ}).

Resposta

\,Q_{\max}=5{,}4\times10^{5}\\ \mathrm{J}=540\\ \mathrm{kJ}

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