Questão 17. O professor Physicsson posiciona dois espelhos,
e
, frente a frente, separados por uma distância L . Um objeto pontual é colocado exatamente no ponto médio entre eles. Considere apenas as imagens de segunda ordem (aquelas que resultam de exatamente duas reflexões, uma em cada espelho). O experimento é realizado em três configurações:
I. Ambos os espelhos são planos. A distância entre as duas imagens de segunda ordem formadas é de 160 cm ;
II. Ambos os espelhos são substituídos por espelhos côncavos idênticos, de distância focal f. Nesta configuração, as duas imagens de segunda ordem coincidem no mesmo ponto;
III. O espelho
é substituído por um espelho plano, enquanto
permanece o espelho côncavo da configuração anterior.
Qual a distância entre as duas imagens de segunda ordem na configuração III?
A ( ) 20 cm
B ( ) 36 cm
C ( ) 48 cm
D ( ) 60 cm
E ( ) 80 cm
I. Ambos os espelhos são planos. A distância entre as duas imagens de segunda ordem formadas é de 160 cm ;
II. Ambos os espelhos são substituídos por espelhos côncavos idênticos, de distância focal f. Nesta configuração, as duas imagens de segunda ordem coincidem no mesmo ponto;
III. O espelho
A ( ) 20 cm
B ( ) 36 cm
C ( ) 48 cm
D ( ) 60 cm
E ( ) 80 cm
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dois espelhos
e estão frente a frente separados por uma distância . - O objeto pontual está exatamente no ponto médio entre eles (posição central).
- “Imagens de segunda ordem” são aquelas formadas após exatamente duas reflexões, uma em cada espelho (sequências possíveis:
e ). - Três configurações:
I. Ambos os espelhos planos. A distância entre as duas imagens de segunda ordem é.
II. Ambos substituídos por espelhos côncavos idênticos de distância focal; nessa configuração as duas imagens de segunda ordem coincidem (estão no mesmo ponto).
III.é plano e é o espelho côncavo do item II (mesmo ). Pergunta: qual a distância entre as duas imagens de segunda ordem na configuração III? - Objetivo final: calcular essa distância (comparar com as alternativas dadas).
Passo 2
Começo pela configuração I (ambos planos) para achar
. Primeiro lembro uma propriedade útil de espelho plano: a reflexão espelha a posição do objeto em relação ao plano do espelho. Em coordenadas, se o espelho está em
e um ponto está em
, a imagem reflexa por esse espelho fica em
Posiciono os espelhos no eixo
:
em
e
em
. O objeto está em
.
- Sequência
: primeiro a imagem produzida por é
Essa imagem atua como objeto para
; refletindo em
obtemos
Logo a imagem de segunda ordem para
está em
.
- Sequência
: por simetria a imagem de segunda ordem ficará em .
Portanto, as duas imagens de segunda ordem estão em
e a distância entre elas é
Pelo enunciado,
, então
Passo 3
Agora uso a configuração II (ambos côncavos idênticos) para achar
. Vou usar a equação dos espelhos esféricos (espelhos côncavos têm
):
onde
é a distância do objeto ao espelho (positiva se o objeto está em frente ao espelho) e
é a distância da imagem ao espelho (positiva se a imagem é real e fica em frente ao espelho). Explico: para um espelho côncavo, objetos reais localizados na frente do espelho têm
; quando a equação dá
a imagem é real e fica do mesmo lado do objeto.
Posicionamento como antes:
em
,
em
, objeto em
. Para conveniência chamo
(distância do objeto a cada espelho).
Faço o cálculo simbólico da sequência
:
- Na primeira reflexão (em
), o objeto está a do espelho . A imagem produzida por tem distância
A posição dessa imagem medida a partir da origem é
- Essa imagem atua como objeto para
. A distância do objeto ao espelho vale
- A imagem final após reflexão em
tem distância (relativa a )
e sua posição final é
Pelo enunciado as duas imagens de segunda ordem coincidem. Como o sistema é simétrico, a coincidência só pode ocorrer no centro
. Então imponho
, isto é
.
Usando a relação entre
e
:
Mas também tínhamos
e
. Substituindo:
Igualando as duas expressões para
:
Multiplico ambos os lados por
e simplifico (assumindo
):
Desenvolvendo:
Passo
para o lado esquerdo:
Lembrando
, obtemos
Passo 4
Já tínhamos de Passo 2 que
. Usando
obtemos
Passo 5
Agora vou à configuração III:
plano em
,
côncavo em
com
. Calculo as duas imagens de segunda ordem (duas sequências) e a distância entre elas.
Sequência A:
.
- Reflexão em
(plano) com objeto em produz a imagem
- Esse ponto
é agora objeto para . A distância objeto para vale
- Aplicando a equação do espelho (com
):
- Como
está em e a imagem real fica à esquerda, a posição final é
Sequência B:
.
- Primeiro, reflexão em
com objeto em : distância ao espelho . Então
A imagem formada por
fica em
(no centro).
- Essa imagem em
age como objeto para o espelho plano em ; a reflexão pelo plano dá
Portanto as duas imagens de segunda ordem estão em
e
. A distância entre elas é
Passo 6
Resumo do raciocínio (rápido reforço): de I veio
; de II veio
; em III calculou-se cada sequência de duas reflexões e obteve-se as posições
e
, portanto a separação é
. Você pode conferir as contas numéricas rápidas feitas acima.
Resposta
48 cm