Questão 17. O professor Physicsson posiciona dois espelhos, \mathrm{E}_{1} e \mathrm{E}_{2}, frente a frente, separados por uma distância L . Um objeto pontual é colocado exatamente no ponto médio entre eles. Considere apenas as imagens de segunda ordem (aquelas que resultam de exatamente duas reflexões, uma em cada espelho). O experimento é realizado em três configurações:
I. Ambos os espelhos são planos. A distância entre as duas imagens de segunda ordem formadas é de 160 cm ;
II. Ambos os espelhos são substituídos por espelhos côncavos idênticos, de distância focal f. Nesta configuração, as duas imagens de segunda ordem coincidem no mesmo ponto;
III. O espelho \mathrm{E}_{1} é substituído por um espelho plano, enquanto \mathrm{E}_{2} permanece o espelho côncavo da configuração anterior.
Qual a distância entre as duas imagens de segunda ordem na configuração III?
A ( ) 20 cm
B ( ) 36 cm
C ( ) 48 cm
D ( ) 60 cm
E ( ) 80 cm

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dois espelhos E_{1} e E_{2} estão frente a frente separados por uma distância L.
  • O objeto pontual está exatamente no ponto médio entre eles (posição central).
  • “Imagens de segunda ordem” são aquelas formadas após exatamente duas reflexões, uma em cada espelho (sequências possíveis: E_{1}\to E_{2} e E_{2}\to E_{1}).
  • Três configurações:
    I. Ambos os espelhos planos. A distância entre as duas imagens de segunda ordem é 160\\ \text{cm}.
    II. Ambos substituídos por espelhos côncavos idênticos de distância focal f; nessa configuração as duas imagens de segunda ordem coincidem (estão no mesmo ponto).
    III. E_{1} é plano e E_{2} é o espelho côncavo do item II (mesmo f). Pergunta: qual a distância entre as duas imagens de segunda ordem na configuração III?
  • Objetivo final: calcular essa distância (comparar com as alternativas dadas).

Passo 2

Começo pela configuração I (ambos planos) para achar L. Primeiro lembro uma propriedade útil de espelho plano: a reflexão espelha a posição do objeto em relação ao plano do espelho. Em coordenadas, se o espelho está em x_m e um ponto está em x, a imagem reflexa por esse espelho fica em
x' = 2x_m - x.
Posiciono os espelhos no eixo x: E_1 em x=-\dfrac{L}{2} e E_2 em x=+\dfrac{L}{2}. O objeto está em x=0.
  • Sequência E_1\to E_2: primeiro a imagem produzida por E_1 é
x_{1} = 2\left(-\dfrac{L}{2}\right) - 0 = -L.
Essa imagem atua como objeto para E_2; refletindo em E_2 obtemos
x_{12} = 2\left(+\dfrac{L}{2}\right) - (-L) = L + L = 2L.
Logo a imagem de segunda ordem para E_1\to E_2 está em x=+2L.
  • Sequência E_2\to E_1: por simetria a imagem de segunda ordem ficará em x=-2L.
Portanto, as duas imagens de segunda ordem estão em x=\pm 2L e a distância entre elas é
\Delta x = 2L - (-2L) = 4L.
Pelo enunciado, \Delta x = 160\\ \text{cm}, então
4L = 160\\ \text{cm} \quad\Rightarrow\quad L = 40\\ \text{cm}.

Passo 3

Agora uso a configuração II (ambos côncavos idênticos) para achar f. Vou usar a equação dos espelhos esféricos (espelhos côncavos têm f>0):
\frac{1}{s} + \frac{1}{s'} = \frac{1}{f},
onde s é a distância do objeto ao espelho (positiva se o objeto está em frente ao espelho) e s' é a distância da imagem ao espelho (positiva se a imagem é real e fica em frente ao espelho). Explico: para um espelho côncavo, objetos reais localizados na frente do espelho têm s>0; quando a equação dá s'>0 a imagem é real e fica do mesmo lado do objeto.
Posicionamento como antes: E_1 em x=-\dfrac{L}{2}, E_2 em x=+\dfrac{L}{2}, objeto em x=0. Para conveniência chamo a=\dfrac{L}{2} (distância do objeto a cada espelho).
Faço o cálculo simbólico da sequência E_1\to E_2:
  1. Na primeira reflexão (em E_1), o objeto está a s_1=a do espelho E_1. A imagem produzida por E_1 tem distância
s_1'=\frac{f\,s_1}{s_1-f}=\frac{f a}{a-f}.
A posição dessa imagem medida a partir da origem é
x_a = -a + s_1' \quad(\text{pois }E_1\text{ está em }-a).á
  1. Essa imagem atua como objeto para E_2. A distância do objeto ao espelho E_2 vale
s_2 = a - x_a = a - (-a + s_1') = 2a - s_1'.
  1. A imagem final após reflexão em E_2 tem distância (relativa a E_2)
s_2'=\frac{f\,s_2}{s_2-f},
e sua posição final é
x_{\text{final}} = +a - s_2' \quad(\text{pois }E_2\text{ está em }+a\text{ e imagens reais ficam à esquerda, subtraindo }s_2').áà
Pelo enunciado as duas imagens de segunda ordem coincidem. Como o sistema é simétrico, a coincidência só pode ocorrer no centro x=0. Então imponho x_{\text{final}}=0, isto é s_2' = a.
Usando a relação entre s_2' e s_2:
a = \frac{f s_2}{s_2 - f} \quad\Rightarrow\quad s_2 = \frac{a f}{a - f}.
Mas também tínhamos s_2 = 2a - s_1' e s_1'=\dfrac{f a}{a-f}. Substituindo:
s_2 = 2a - \frac{f a}{a-f}.
Igualando as duas expressões para s_2:
2a - \frac{f a}{a-f} = \frac{a f}{a - f}.
Multiplico ambos os lados por a-f e simplifico (assumindo a\neq f):
(2a)(a-f) - f a = f a.
Desenvolvendo:
2a^2 - 2a f - f a = f a \quad\Rightarrow\quad 2a^2 - 3 a f = f a.
Passo f a para o lado esquerdo:
2a^2 - 4 a f = 0 \quad\Rightarrow\quad 2a^2 = 4 a f \quad\Rightarrow\quad a = 2f.
Lembrando a=\dfrac{L}{2}, obtemos
\frac{L}{2} = 2f \quad\Rightarrow\quad L = 4f.

Passo 4

Já tínhamos de Passo 2 que L=40\\ \text{cm}. Usando L=4f obtemos
f=\frac{L}{4}=\frac{40\\ \text{cm}}{4}=10\\ \text{cm}.

Passo 5

Agora vou à configuração III: E_1 plano em x=-20\\ \text{cm}, E_2 côncavo em x=+20\\ \text{cm} com f=10\\ \text{cm}. Calculo as duas imagens de segunda ordem (duas sequências) e a distância entre elas.
Sequência A: E_1\to E_2.
  • Reflexão em E_1 (plano) com objeto em x=0 produz a imagem
x_{(1)} = 2(-20) - 0 = -40\\ \text{cm}.
  • Esse ponto -40\\ \text{cm} é agora objeto para E_2. A distância objeto para E_2 vale
s_2 = 20 - (-40) = 60\\ \text{cm}.
  • Aplicando a equação do espelho (com f=10\\ \text{cm}):
s_2'=\frac{f s_2}{s_2 - f}=\frac{10\cdot 60}{60 - 10}=\frac{600}{50}=12\\ \text{cm}.
  • Como E_2 está em x=+20 e a imagem real fica à esquerda, a posição final é
x_{A} = 20 - 12 = 8\\ \text{cm}.
Sequência B: E_2\to E_1.
  • Primeiro, reflexão em E_2 com objeto em x=0: distância ao espelho s=20\\ \text{cm}. Então
s'=\frac{f s}{s - f}=\frac{10\cdot 20}{20 - 10}=\frac{200}{10}=20\\ \text{cm}.
A imagem formada por E_2 fica em x = 20 - 20 = 0 (no centro).
  • Essa imagem em x=0 age como objeto para o espelho plano E_1 em x=-20; a reflexão pelo plano dá
x_{B} = 2(-20) - 0 = -40\\ \text{cm}.
Portanto as duas imagens de segunda ordem estão em x_A=+8\\ \text{cm} e x_B=-40\\ \text{cm}. A distância entre elas é
\Delta = 8 - (-40) = 48\\ \text{cm}.

Passo 6

Resumo do raciocínio (rápido reforço): de I veio L=40\\ \text{cm}; de II veio f=L/4=10\\ \text{cm}; em III calculou-se cada sequência de duas reflexões e obteve-se as posições +8\\ \text{cm} e -40\\ \text{cm}, portanto a separação é 48\\ \text{cm}. Você pode conferir as contas numéricas rápidas feitas acima.

Resposta

48 cm

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