Questão 13. Dois turistas A e B, que estão a uma distância de 40 km de seu acampamento, devem chegar até ele juntos no menor tempo possível. Eles têm uma bicicleta e decidem usá-la alternadamente. A começou caminhando a uma velocidade de 5 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e B seguiu de bicicleta a uma velocidade de 15 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Após percorrer certa distância, B deixou a bicicleta e caminhou a distância restante. A , ao alcançar a bicicleta, pega-a e percorre a distância restante pedalando. Ambos chegaram ao acampamento juntos. Por quanto tempo a bicicleta ficou sem ser utilizada?
A ( ) 1 h 20 min
B ( ) 2 h 00 min
C ( ) 2 h 40 min
D ( ) 4 h 00 min
E ( ) 5 h 20 min

Passo 1

Dados e o que o enunciado pede (peguei tudo do enunciado):
  • Distância total de cada turista até o acampamento: 40\\ \text{km}.
  • Velocidade de caminhada de A: 5\\ \text{km/h}.
  • Velocidade de bicicleta usada por quem pedala: 15\\ \text{km/h}.
  • Situação: ambos saem ao mesmo tempo; B começa de bicicleta e A começa a pé. B pedala uma certa distância, deixa a bicicleta e segue a pé até o acampamento; A anda até onde a bicicleta foi deixada, então pega a bicicleta e pedala o trecho restante. Ambos chegam juntos ao acampamento.
  • Pergunta: por quanto tempo a bicicleta ficou sem ser utilizada (ou seja, tempo entre B deixar a bicicleta e A alcançá‑la)?

Passo 2

Modelo e conceito básico (aulas rápidas para a prova).
  • Relação entre distância, velocidade e tempo: \text{tempo}=\dfrac{\text{distância}}{\text{velocidade}}â.
    Ex.: se alguém anda 10\\ \text{km} a 5\\ \text{km/h}, o tempo é \dfrac{10}{5}=2\\ \text{h}.
  • Vamos definir uma variável conveniente: seja d a distância que B pedalou desde o ponto de partida até o ponto onde deixou a bicicleta. Assim:
    • A caminhou até esse ponto uma distância d.
    • O restante até o acampamento é 40-d para ambos (o que A pedala depois e o que B caminha depois).

Passo 3

Escrever os tempos totais de A e de B em função de d.
  • Tempo total de A (andar até a bicicleta + pedalar o restante):
t_A=\dfrac{d}{5}+\dfrac{40-d}{15}.
Explicação dos termos: \dfrac{d}{5} é o tempo que A levou para caminhar d km a 5\\ \text{km/h}; \dfrac{40-d}{15} é o tempo que A levou pedalando os últimos 40-d km a 15\\ \text{km/h}.
  • Tempo total de B (pedalar d + caminhar os 40-d):
t_B=\dfrac{d}{15}+\dfrac{40-d}{5}.
Explicação dos termos: \dfrac{d}{15} é o tempo que B passou na bicicleta; \dfrac{40-d}{5} é o tempo que B caminhou depois.

Passo 4

Usar a condição “ambos chegaram juntos”: os tempos totais são iguais.
t_A=t_B.
Substituindo as expressões:
\dfrac{d}{5}+\dfrac{40-d}{15}=\dfrac{d}{15}+\dfrac{40-d}{5}.
Agora resolvemos essa equação para d. Multiplicando ambos os lados por 15 (para eliminar denominadores):
15\left(\dfrac{d}{5}\right)+15\left(\dfrac{40-d}{15}\right)=15\left(\dfrac{d}{15}\right)+15\left(\dfrac{40-d}{5}\right).
Isso simplifica para
3d+(40-d)=d+3(40-d).
Continuando a simplificação:
3d+40-d=d+120-3d.
2d+40=-2d+120.
4d=80 \quad\Rightarrow\quad d=20\\ \text{km}.

Passo 5

Interpretação do resultado d=20\\ \text{km}.
  • B pedalou 20\\ \text{km} e então deixou a bicicleta. Esse foi o instante (tempo) em que a bicicleta ficou parada.
  • Vamos calcular o instante em que B deixou a bicicleta (tempo desde o início) e o instante em que A alcançou a bicicleta.

Passo 6

Calcular o tempo em que B deixou a bicicleta:
t_{\text{deixou}}=\dfrac{d}{15}=\dfrac{20}{15}=\dfrac{4}{3}\\ \text{h}.
Converter \dfrac{4}{3}\\ \text{h} em horas e minutos: \dfrac{4}{3}\\ \text{h}=1\\ \text{h}+\dfrac{1}{3}\\ \text{h}=1\\ \text{h }20\\ \text{min}.
Calcular o tempo em que A alcançou a bicicleta:
t_{\text{alcançou}}=\dfrac{d}{5}=\dfrac{20}{5}=4\\ \text{h}.ç

Passo 7

Tempo que a bicicleta ficou sem ser utilizada = diferença entre quando A chegou e quando B deixou:
t_{\text{inativa}}=t_{\text{alcançou}}-t_{\text{deixou}}=4-\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3}\\ \text{h}.ç
Converter \dfrac{8}{3}\\ \text{h} em horas e minutos: \dfrac{8}{3}\\ \text{h}=2\\ \text{h}+\dfrac{2}{3}\\ \text{h}=2\\ \text{h }40\\ \text{min}.
(Faixa de checagem rápida: tempo total de viagem de cada um é t_A=\dfrac{20}{5}+\dfrac{20}{15}=4+\dfrac{4}{3}=\dfrac{16}{3}\\ \text{h}=5\\ \text{h }20\\ \text{min}, consistente com os cálculos.)

Resposta

C) 2\\ \text{h }40\\ \text{min}

Exercícios relacionados