Questão 14. Duas partículas, 1 e 2, são lançadas verticalmente para cima a partir do mesmo ponto no solo. A partícula 1 é lançada com velocidade inicial
e, após um intervalo de tempo
, a partícula 2 é lançada com velocidade inicial
. Sabendo que as partículas colidem no exato instante em que a partícula 2 atinge sua altura máxima, o valor do intervalo de tempo △ t é:
A ( ) 2 s
B ( ) 3 s
C( ) 4 s
D( ) 6 s
E( ) 9 s
A ( ) 2 s
B ( ) 3 s
C( ) 4 s
D( ) 6 s
E( ) 9 s
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados (peguei estes valores do enunciado):
- velocidade inicial da partícula 1:
. - velocidade inicial da partícula 2:
. - a partícula 2 é lançada um intervalo de tempo
após a partícula 1. - as duas são lançadas verticalmente para cima a partir do mesmo ponto (solo).
- as partículas colidem exatamente no instante em que a partícula 2 atinge sua altura máxima.
- velocidade inicial da partícula 1:
-
O enunciado pede: encontrar o valor de
.
Observação que vou assumir (porque não foi dado explicitamente no enunciado, e é padrão em provas quando aparecem opções inteiras): vou usar
para a aceleração da gravidade. Isso simplifica contas e normalmente é o que se espera para obter números inteiros nas alternativas.
Passo 2
Relembrando e explicando as fórmulas que vou usar (aula rápida e concreta):
- Para um lançamento vertical para cima com velocidade inicial
sob gravidade (positiva), a velocidade no instante contado desde o lançamento é
Aqui
tem sinal positivo para cima;
é a velocidade inicial (m/s);
é o tempo desde o lançamento (s).
- A posição (altura) no instante
é
onde
no ponto de lançamento (solo). Essa fórmula vem da integração da velocidade e é a equação do movimento uniformemente variado.
- O instante em que a partícula atinge a altura máxima é quando a velocidade se anula:
. Assim
- A altura máxima (substituindo
em ) pode ser escrita de forma prática como
Essas fórmulas são tudo que precisamos para resolver o problema.
Passo 3
Calcular o tempo que a partícula 2 demora, após seu próprio lançamento, para atingir o máximo:
Usando
com
e
:
Interpretação: a partícula 2 atinge o topo
após o seu lançamento.
Passo 4
Calcular a altura máxima alcançada pela partícula 2 usando
:
Então, no instante da colisão (que coincide com o topo da partícula 2) a altura comum é
.
Passo 5
Relacionar os tempos absolutos e escrever a equação para a partícula 1:
- Escolho como origem dos tempos o lançamento da partícula 1 (tempo zero quando a 1 é lançada).
- A partícula 2 é lançada no instante
. - Ela atinge o topo
após o próprio lançamento, portanto o instante absoluto da colisão (medido desde o lançamento da partícula 1) é
- A altura da partícula 1 no instante
é, pela fórmula ,
Como as partículas colidem nesse instante e a partícula 2 está no topo com altura
, devemos ter
Passo 6
Montar e resolver a equação numérica. Substituo
,
e
:
Simplifico os coeficientes (
):
Faço a expansão passo a passo:
Agora agrupo termos:
Subtraio
dos dois lados:
Divido por
para simplificar:
Resolver a quadrática (fórmula de Bhaskara):
As duas soluções são
Descarte a solução negativa (
é intervalo de tempo positivo). Portanto
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida:
significa que a partícula 2 foi lançada 6 s depois da 1; somando os
que ela demora até o topo, a colisão aconteceu
após o lançamento da partícula 1. Se quiser conferir mentalmente: altura da 1 em
é
, consistente com a altura máxima da 2. Beleza — resposta consistente.