Questão 14. Duas partículas, 1 e 2, são lançadas verticalmente para cima a partir do mesmo ponto no solo. A partícula 1 é lançada com velocidade inicial v_{1}=50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e, após um intervalo de tempo \Delta \mathrm{t}, a partícula 2 é lançada com velocidade inicial \mathrm{v}_{2}=30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Sabendo que as partículas colidem no exato instante em que a partícula 2 atinge sua altura máxima, o valor do intervalo de tempo △ t é:
A ( ) 2 s
B ( ) 3 s
C( ) 4 s
D( ) 6 s
E( ) 9 s

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • velocidade inicial da partícula 1: v_{1}=50\\ \mathrm{m/s}.
    • velocidade inicial da partícula 2: v_{2}=30\\ \mathrm{m/s}.
    • a partícula 2 é lançada um intervalo de tempo \Delta t após a partícula 1.
    • as duas são lançadas verticalmente para cima a partir do mesmo ponto (solo).
    • as partículas colidem exatamente no instante em que a partícula 2 atinge sua altura máxima.
  • O enunciado pede: encontrar o valor de \Delta t.
Observação que vou assumir (porque não foi dado explicitamente no enunciado, e é padrão em provas quando aparecem opções inteiras): vou usar g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} para a aceleração da gravidade. Isso simplifica contas e normalmente é o que se espera para obter números inteiros nas alternativas.

Passo 2

Relembrando e explicando as fórmulas que vou usar (aula rápida e concreta):
  • Para um lançamento vertical para cima com velocidade inicial v_{0} sob gravidade g (positiva), a velocidade no instante t contado desde o lançamento é
v(t)=v_{0}-g\,t.
Aqui v(t) tem sinal positivo para cima; v_{0} é a velocidade inicial (m/s); t é o tempo desde o lançamento (s).
  • A posição (altura) no instante t é
y(t)=v_{0}t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2},
onde y=0 no ponto de lançamento (solo). Essa fórmula vem da integração da velocidade e é a equação do movimento uniformemente variado.
  • O instante em que a partícula atinge a altura máxima é quando a velocidade se anula: v(t_{\max})=0. Assim
t_{\max}=\frac{v_{0}}{g}.
  • A altura máxima (substituindo t_{\max} em y(t)) pode ser escrita de forma prática como
h_{\max}=\frac{v_{0}^{2}}{2g}.
Essas fórmulas são tudo que precisamos para resolver o problema.

Passo 3

Calcular o tempo que a partícula 2 demora, após seu próprio lançamento, para atingir o máximo:
Usando t_{\max}=\dfrac{v_{0}}{g} com v_{0}=v_{2}=30\\ \mathrm{m/s} e g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}:
t_{2}=\frac{v_{2}}{g}=\frac{30}{10}=3\\ \mathrm{s}.
Interpretação: a partícula 2 atinge o topo 3\\ \mathrm{s} após o seu lançamento.

Passo 4

Calcular a altura máxima alcançada pela partícula 2 usando h_{\max}=\dfrac{v_{0}^{2}}{2g}:
h_{2}=\frac{v_{2}^{2}}{2g}=\frac{30^{2}}{2\cdot10}=\frac{900}{20}=45\\ \mathrm{m}.
Então, no instante da colisão (que coincide com o topo da partícula 2) a altura comum é 45\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Relacionar os tempos absolutos e escrever a equação para a partícula 1:
  • Escolho como origem dos tempos o lançamento da partícula 1 (tempo zero quando a 1 é lançada).
  • A partícula 2 é lançada no instante t=\Delta t.
  • Ela atinge o topo t_{2}=3\\ \mathrm{s} após o próprio lançamento, portanto o instante absoluto da colisão (medido desde o lançamento da partícula 1) é
t_{c}=\Delta t + t_{2}=\Delta t + 3.
  • A altura da partícula 1 no instante t_{c} é, pela fórmula y(t)=v_{1}t-\tfrac{1}{2}g t^{2},
y_{1}(t_{c})=v_{1}(\Delta t+3)-\tfrac{1}{2}g(\Delta t+3)^{2}.
Como as partículas colidem nesse instante e a partícula 2 está no topo com altura h_{2}=45\\ \mathrm{m}, devemos ter
y_{1}(t_{c})=h_{2}.

Passo 6

Montar e resolver a equação numérica. Substituo v_{1}=50\\ \mathrm{m/s}, g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} e h_{2}=45\\ \mathrm{m}:
50(\Delta t+3)-\tfrac{1}{2}\cdot10(\Delta t+3)^{2}=45.
Simplifico os coeficientes ( \tfrac{1}{2}\cdot10=5):
50(\Delta t+3)-5(\Delta t+3)^{2}=45.
Faço a expansão passo a passo:
50\Delta t+150-5\bigl(\Delta t^{2}+6\Delta t+9\bigr)=45.
50\Delta t+150-5\Delta t^{2}-30\Delta t-45=45.
Agora agrupo termos:
-5\Delta t^{2}+(50\Delta t-30\Delta t)+(150-45)=45.
-5\Delta t^{2}+20\Delta t+105=45.
Subtraio 45 dos dois lados:
-5\Delta t^{2}+20\Delta t+60=0.
Divido por -5 para simplificar:
\Delta t^{2}-4\Delta t-12=0.
Resolver a quadrática (fórmula de Bhaskara):
\Delta t=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot(-12)}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{4\pm8}{2}.
As duas soluções são
\Delta t=\frac{4+8}{2}=6\quad\text{ou}\quad \Delta t=\frac{4-8}{2}=-2.
Descarte a solução negativa ( \Delta t é intervalo de tempo positivo). Portanto
\Delta t=6\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida: \Delta t=6\\ \mathrm{s} significa que a partícula 2 foi lançada 6 s depois da 1; somando os 3\\ \mathrm{s} que ela demora até o topo, a colisão aconteceu 9\\ \mathrm{s} após o lançamento da partícula 1. Se quiser conferir mentalmente: altura da 1 em t=9\\ \mathrm{s} é 50\cdot9-5\cdot9^{2}=450-405=45\\ \mathrm{m}, consistente com a altura máxima da 2. Beleza — resposta consistente.

Resposta

\Delta t=6\\ \mathrm{s}

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