Questão 17. Quais das seguintes funções tem um máximo ou mínimo em
.
Passo 1
O enunciado dá a função definida em
e pergunta se essa função tem máximo ou mínimo em
.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
- A função está definida para todo par
. - A expressão contém um termo quadrático em
e termos trigonométricos limitados em e . - A pergunta é sobre existência de extremos globais (máximo e/ou mínimo) em todo
.
Passo 2
Primeira observação útil (mostrando continuidade e comportamento para
grande).
Explico o que vou usar: funções polinomiais e trigonométricas são contínuas, então
é contínua em
. Agora observo que
e
são limitadas por
. Logo, para todo
,
Dessa desigualdade decorre
Portanto, para todo
,
A expressão
tende a
quando
. Em particular, para
suficientemente grande (por exemplo
) tem-se
grande e positivo. Isso mostra que a função não pode ir para
seguindo uma direção em que
; ao contrário,
quando
.
Consequência prática (existência de mínimo global): como
é contínua e satisfaz
quando
, os conjuntos de nível
são compactos para
suficientemente pequeno, logo pelo Teorema de Weierstrass o ínfimo de
é atingido por algum ponto em
. Em palavras: existe pelo menos um ponto onde
atinge o seu valor mínimo global.
Passo 3
Mostrando que não existe máximo global.
Basta construir uma sequência em que
tende para
. Por exemplo, escolha
e
. Como
e
,
Esse valor tende a
quando
. Portanto
é ilimitada superiormente e não tem máximo global em
.
Passo 4
Agora, para entender os pontos extremos (localmente) e ilustrar como proceder numa prova de prova, calculemos o gradiente e os pontos críticos — isto ensina como encontrar candidatos a mínimos locais que depois são classificados.
Derivadas parciais (aplico regra do produto com cuidado; ensino o passo a passo):
- Diferenciando em
:
a derivada deé .
a derivada deem é (porque é constante em relação a ).
a derivada deem usa produto: . Multiplicando por dá .
Somando:
Podemos agrupar:
- Diferenciando em
:
somente o termodepende de ; sua derivada é . Logo
Pontos críticos são soluções do sistema
.
Do segundo equação
vem
- Caso
. Substituindo em :
Logo pontos críticos desse caso são
com
. Nestes, o valor da função é
- Caso
. Então e . Substituindo em e dividindo por obtemos a equação para
Essa é uma equação transcendental em
; não se resolve em fórmulas fechadas, mas podemos garantir existência de soluções usando o teorema do valor intermediário (veja exemplificação abaixo). Em particular, para
par (ou seja
onde
) a equação é
Observando sinais, nota-se que para
o lado esquerdo é
e o direito é
, e para
o lado esquerdo costuma ser maior que o direito; isto mostra que existe uma raiz em
. Assim existe pelo menos um ponto crítico com
e
. (Não é preciso no exame dar solução fechada: basta saber que há pelo menos um crítico desse tipo.)
Passo 5
Classificação (Hessiana) e natureza do extremo em um desses pontos críticos.
Calculo as segundas derivadas (Hessiana):
- Diferenciando
em :
(Expliquei: derivei
por produto e somei a derivada de
.)
- Diferenciando
em :
- Diferenciando
em :
Matriz Hessiana:
Considere o ponto crítico aproximado
com
(assim
,
) e
solução de
com
. Avaliando a Hessiana em
:
E
Numericamente, para
tem-se
,
, logo
Como
e o determinante da Hessiana
é positivo (pois
e ambos
), pela condição de Sylvester a Hessiana é definida positiva em
. Conclusão:
é um mínimo local estrito.
Juntando com o que foi visto no Passo 2 (a função tende a
ao ir para
e é contínua), esse mínimo local corresponde a um mínimo global (ou, pelo menos, existe um mínimo global que é alcançado; o ponto crítico que encontramos é um candidato e, numericamente, é de fato um ponto de mínimo global).
Passo 6
Resumo das conclusões e como usar isso na prova (dicas rápidas):
- Para mostrar existência de mínimo global: é suficiente mostrar que a função é contínua e coerciva na direção que domina (aqui o termo
domina os termos lineares em ), o que garante que o ínfimo é atingido num conjunto compacto. No exame, escreva a desigualdade e conclua que quando , daí existe mínimo global por Weierstrass. - Para negar existência de máximo global: encontre uma sequência que faz
(por exemplo ) e conclua que não há máximo. - Para classificar extremos locais, calcule o gradiente e a Hessiana e aplique o teste das derivadas segundas (Sylvester). Mostre explicitamente
e como fiz acima.
Força aí — a ideia principal é: o termo
“domina” e impede máximos, mas garante que existe um mínimo global que surge em pontos críticos que se obtêm resolvendo
.
Resposta
Possui mínimo global (sim: existe e é atingido em ao menos um ponto crítico).
Possui máximo global (não).
Possui máximo global (não).