Exercício 2 Esboce a região
e encontre sua área.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Esboçar a região
. - Encontrar a área de
.
As informações fornecidas sobre
são (vou copiar exatamente do enunciado):
Das desigualdades podemos extrair os limites:
- em
: ; - em
: para cada nesse intervalo, varia de (limite inferior) até (limite superior).
Passo 2
Interpretação geométrica (para esboçar):
- A curva
(ou seja ) passa por e por ; é crescente e fica abaixo da reta para . - A reta horizontal
é o topo da região. - As retas verticais
e são as fronteiras esquerda e direita do domínio em .
Portanto, a região
é o conjunto de pontos com abscissas entre
e
e ordenadas entre a curva
e a linha
. No esboço isso aparece como uma “faixa” vertical entre
e
, limitada abaixo pela raiz quadrada e acima pela horizontal
. Os pontos importantes são
e
na curva inferior, e as interseções com
não ocorrem no intervalo
(pois
aí).
Passo 3
Estratégia para calcular a área (ideia didática):
- Usamos o método das tiras verticais (também chamado de integração em
). A ideia: para cada em consideramos um retângulo fino de base e altura igual à diferença entre a função superior e a função inferior, isto é . - Somando essas contribuições infinitesimais e passando ao limite obtemos a integral
Esse é um método padrão: quando a região é descrita por
e
, a área é
.
Passo 4
Montagem da integral e separação em partes:
Passo 5
Cálculo das integrais separadas (mostrando cada passo):
- Para a primeira integral,
- Para a segunda integral, escrevemos
e usamos a regra de potência para integrais: para ,
Aplicando com
,
Passo 6
Combinação dos resultados (cálculo aritmético final do integrando):
Passo 7
Verificação alternativa (integração em
, só para verificação e aprendizagem):
- Podemos tentar integrar em
. Para isso precisamos escrever em função de : a partir de . - Para um dado
, vai de até . Como vai de até , há que separar em dois trechos: - Para
: varia de até . - Para
: varia de até (pois aí, mas pela condição do enunciado).
- Para
- Assim a área por integração em
é
coincidindo com o resultado anterior — bom sinal de que está correto.
Passo 8
Observações finais e dica para prova:
- Método mais direto: integrar em
com altura foi o caminho mais simples. - Lembre que sempre verificar os pontos de interseção e se é necessário dividir a integral (no caso da integração em
foi necessário dividir em dois intervalos). - Valor numérico aproximado:
. Vai tranquilo — esse tipo de integral é padrão.
Resposta
Esboço: Região limitada por
(inferior),
(superior),
e
.
Área:
Área: