Localize e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio
z=\ln (x y)-2 x-3 y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Localizar e classificar os pontos críticos da função z=f(x,y) dada por
f(x,y)=\ln(xy)-2x-3y.
  • Determinar se a função tem extremo absoluto em seu domínio.
Informações que o enunciado dá (condições iniciais):
  • A função envolve \ln(xy), portanto o domínio é o conjunto de pontos (x,y) com xy>0 (ou seja, x e y têm o mesmo sinal; ambos positivos ou ambos negativos).
  • Não há outras restrições explícitas além de xy>0.

Passo 2

Condição para ponto crítico e cálculo das derivadas parciais.
Explicação rápida: um ponto crítico é um ponto do domínio onde o gradiente é nulo ou as derivadas parciais não existem. Aqui as derivadas parciais existem em todo o domínio ( x\neq0,y\neq0 quando xy>0), então procuramos onde o gradiente é zero.
Calcule as derivadas parciais. Para \ln(xy) usamos a regra da cadeia: \dfrac{\partial}{\partial x}\ln(xy)=\dfrac{1}{xy}\cdot y=\dfrac{1}{x} (válido quando xy>0 e x\neq0). Analogamente para y.
Portanto:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{x}-2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{y}-3.
Ponto crítico exige:
\frac{1}{x}-2=0,\qquad \frac{1}{y}-3=0.
Resolvendo:
\frac{1}{x}=2 \Rightarrow x=\tfrac{1}{2}, \qquad \frac{1}{y}=3 \Rightarrow y=\tfrac{1}{3}.
Verificação de domínio: \left(\tfrac{1}{2}\right)\left(\tfrac{1}{3}\right)=\tfrac{1}{6}>0, logo o ponto \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\right) pertence ao domínio. Concluímos que há exatamente um ponto crítico: \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\right).

Passo 3

Classificação do ponto crítico pelo teste das segundas derivadas (Hessiano).
Explicando o teste: para f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, calcule as segundas derivadas e o determinante do Hessiano D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2. Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local; se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local; se D<0 então sela; se D=0 teste inconclusivo.
Calcule as segundas derivadas:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=-\frac{1}{x^2},\qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-\frac{1}{y^2},\qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=0.
Avalie no ponto crítico \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\right):
f_{xx}\Big|_{(1/2,1/3)}=-\frac{1}{(1/2)^2}=-\frac{1}{1/4}=-4,
f_{yy}\Big|_{(1/2,1/3)}=-\frac{1}{(1/3)^2}=-\frac{1}{1/9}=-9,
f_{xy}\Big|_{(1/2,1/3)}=0.
Determinante do Hessiano:
D = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2 = (-4)(-9)-0 = 36>0.
Como D>0 e f_{xx}=-4<0, pelo teste das segundas derivadas o ponto \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\right) é um ponto de máximo local. Para completar, o valor da função nesse ponto é
f\Big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\Big)=\ln\!\Big(\tfrac{1}{6}\Big)-2.

Passo 4

Análise de existência de extremos absolutos (globais).
Precisamos verificar se a função tem máximo absoluto ou mínimo absoluto no domínio xy>0.
  1. Comportamento para x,y>0 próximos de zero ou indo para +\infty:
  • Se um dos argumentos tende a zero positivo, por exemplo x\to0^+ com y fixo positivo, então \ln(xy)\to-\infty e os termos lineares finitos não compensam: f\to -\infty. Logo não existe mínimo absoluto (a função pode ficar arbitrariamente negativa).
  • Se x\to+\infty ou y\to+\infty (com o outro fixo positivo), os termos -2x ou -3y dominam (são linearmente grandes negativos), enquanto \ln(xy) cresce muito mais devagar; portanto f\to -\infty nessas direções também.
  1. Comportamento para x,y<0 com grandes magnitudes (quadrante negativo, ainda no domínio porque xy>0):
    Escreva x=-t, y=-s com t>0,s>0. Então
f(-t,-s)=\ln(ts)-2(-t)-3(-s)=\ln t+\ln s+2t+3s.
Como t,s\to+\infty, a parte 2t+3s domina e f(-t,-s)\to+\infty. Ou seja, a função é não limitada superiormente ao longo do quadrante onde x,y são negativos: dá para torná-la arbitrariamente grande.
Conclusões dessa análise:
  • Não existe máximo absoluto porque a função pode crescer sem limite (tende a +\infty) quando x,y\to -\infty simultaneamente.
  • Não existe mínimo absoluto porque a função tende a -\infty em várias direções (por exemplo x\to0^+ ou x\to+\infty etc.).
Portanto, o máximo local encontrado em \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\right) não é um máximo global absoluto; é apenas um máximo local.

Resposta

Ponto crítico: \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\right) — máximo local com valor f\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\big)=\ln\!\big(\tfrac{1}{6}\big)-2.
Não há extremo absoluto (nem máximo absoluto nem mínimo absoluto) no domínio xy>0.

Exercícios relacionados