Questão 17: [Tarefa computacional] A partir da definição da espessura de momento, encontre uma expressão para a força de atrito ao longo de uma placa plana para um escoamento laminar e turbulento. Para isso, utilize as expressões da Tabela 10-4 do livro texto do Çengel para a espessura de deslocamento, utilizando as expressões da primeira e terceira colunas.
Resumo das expressões para camadas limites laminar e turbulenta sobre uma placa lisa paralela a uma corrente uniforme*
Table 1: TABELA 10-4
\captionsetup{labelformat=empty}
Propriedade Laminar (a) Turbulenta { }^{(\dagger)} (b) Turbulenta { }^{(t)}
Espessura da camada limite \frac{\delta}{x}=\frac{4,91}{{\sqrt{\mathrm{Re}_{x}}}^{x}} \frac{\delta}{x}=\frac{0,16}{\left(\operatorname{Re}_{x}\right)^{17}} \frac{\delta}{x}=\frac{0,38}{\left(\mathrm{Re}_{x}\right)^{1 / 5}}
Espessura de deslocamento \frac{\delta^{*}}{x}=\frac{1,72}{\sqrt{\mathrm{Re}_{x}}} \frac{\delta^{*}}{x} \approx \frac{0,020}{\left(\mathrm{Re}_{x}\right)^{17}} \frac{\delta^{*}}{x} \cong \frac{0,048}{\left(\mathrm{Re}_{x}\right)^{1 / 5}}
Espessura da quantidade de movimento \frac{\theta}{x}=\frac{0,664}{\sqrt{\mathrm{Re}_{x}}} \frac{\theta}{x} \cong \frac{0,016}{\left(\operatorname{Re}_{x}\right)^{17}} \frac{\theta}{x} \cong \frac{0,037}{\left(\operatorname{Re}_{x}\right)^{1 / 5}}
Coeficiente local de atrito superficial C_{f . x}=\frac{0,664}{\sqrt{\mathbf{R e}_{\lambda}}} C_{f, x} \cong \frac{0,027}{\left(\operatorname{Re}_{x}\right)^{1 / 7}} c_{f, x} \simeq \frac{0,059}{\left(\mathbf{R e}_{x}\right)^{1 / 5}}
Plote o valor de C_{f, x}(x) vs. x para um C.L. laminar até a condição de R e_{x}=10^{6}. Ainda, plote a mesma variável assumindo C.L. turbulento logo no bordo de ataque da placa. Admita que o fluido é ar a 25^{\circ} \mathrm{C}. Admita uma velocidade da corrente livre de U de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Se necessário, admita que a placa plana tem profundidade w=1 \mathrm{~m}. Para esse valor de R e_{x}, em qual das situações a força líquida total é maior? Na situação em que a C.L. é laminar ou turbulenta?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado (resumo claro, peguei estes dados do enunciado):
  • Pedidos:
    1. A partir da definição da espessura de momento, obter uma expressão para a força de atrito sobre uma placa plana para escoamento laminar e para escoamento turbulento (usar as expressões das colunas 1 e 3 da Tabela 10-4 do Çengel).
    2. Plote C_{f,x}(x) vs.\ x para o caso laminar até a condição \mathrm{Re}_x=10^{6}.
    3. Plote C_{f,x}(x) vs.\ x supondo camada-limite turbulenta já no bordo de ataque.
    4. Para o mesmo valor de \mathrm{Re}_x=10^{6}, comparar a força líquida total (laminar vs turbulenta).
  • Dados numéricos fornecidos / hipóteses que devo usar:
    • Velocidade da corrente livre: U=10\\ \mathrm{m/s}.
    • Fluido: ar a 25^\circ\mathrm{C}. (Usarei valores padrão: densidade \rho=1{,}184\\ \mathrm{kg/m^3} e viscosidade cinemática \nu=1{,}5617\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.)
    • Profundidade da placa (largura no eixo z): w=1\\ \mathrm{m} (se necessário para força total).
    • A Tabela 10-4 (coluna 1 laminar e coluna 3 turbulenta) fornece as leis aproximadas para \theta/x e também para C_{f,x}; vou começar usando as expressões de \theta/x (espessura de momento normalizada) da tabela e aplicar a definição que relaciona \theta com C_{f,x}.
  • Observação importante (não resolvo aqui): o enunciado pede plots; vou fornecer expressões analíticas, pontos numéricos para plot e instruções para gerar o gráfico num software; o passo final compara as forças totais.

Passo 2

Conceitos principais e a relação que vou usar (aulas passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Definição física da espessura de momento \theta: \theta(x)=\int_{0}^{\delta(x)} \frac{u(y)}{U}\left(1-\frac{u(y)}{U}\right)\,dy,onde u(y) é a velocidade na direção paralela à placa no ponto y, U é a velocidade da corrente livre e \delta(x) é a espessura da camada-limite. A espessura de momento quantifica a perda de quantidade de movimento devido à presença da camada-limite.
  • Equação integral da quantidade de movimento (von Kármán) para uma placa plana em escoamento incompressível com pressão externa constante ( dP_e/dx=0): \frac{d\theta}{dx}=\frac{\tau_w}{\rho U^2},onde \tau_w é a tensão de cisalhamento na parede. Muitos textos usam a forma com o coeficiente de atrito local C_{f,x}: C_{f,x} \equiv \frac{2\tau_w}{\rho U^2}.Combinando as duas expressões obtém-se uma relação simples e muito útil: \frac{C_{f,x}}{2}=\frac{d\theta}{dx}\quad\Longrightarrow\quad C_{f,x}=2\frac{d\theta}{dx}.Explicando em palavras: derivar \theta em relação a x dá (dividido por 2) o coeficiente de atrito local. Isso permite obter C_{f,x} diretamente se soubermos a expressão de \theta(x).
  • Observação sobre dependência de \mathrm{Re}_x: a tabela dá \theta/x em função de \mathrm{Re}_x, sendo \mathrm{Re}_x\equiv \dfrac{U x}{\nu}. Para obter \theta(x) e d\theta/dx, substitui-se \mathrm{Re}_x por \dfrac{U x}{\nu} e faz-se a diferenciação em x.

Passo 3

Obtendo C_{f,x} a partir das expressões tabeladas de \theta/x (coluna 1: laminar; coluna 3: turbulenta).
  • Expressões da tabela (coluna 1 e coluna 3) para \theta/x (peguei essas expressões da Tabela 10-4):
    • Laminar (coluna 1): \frac{\theta}{x}=\frac{0{,}664}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}.
    • Turbulento (coluna 3): \frac{\theta}{x}\cong\frac{0{,}037}{\left(\mathrm{Re}_x\right)^{1/5}}.
  • Passo intermediário: expressar \theta(x) explicitamente usando \mathrm{Re}_x=U x/\nu.
    • Laminar: \theta(x)=x\cdot\frac{0{,}664}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}=0{,}664\,x\left(\frac{\nu}{U x}\right)^{1/2} =0{,}664\sqrt{\frac{\nu}{U}}\,x^{1/2}.Agora derivar: \frac{d\theta}{dx}=0{,}664\sqrt{\frac{\nu}{U}}\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2} =\frac{0{,}664}{2}\sqrt{\frac{\nu}{U}}\,x^{-1/2}.Aplicando C_{f,x}=2\,d\theta/dx: C_{f,x}^{\text{(lam)}}=2\frac{d\theta}{dx}=2\cdot\frac{0{,}664}{2}\sqrt{\frac{\nu}{U}}\,x^{-1/2} =0{,}664\sqrt{\frac{\nu}{U}}\;x^{-1/2}.Reescrevendo em termos de \mathrm{Re}_x: C_{f,x}^{\text{(lam)}}=\frac{0{,}664}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}},que é a forma usual da tabela (verificação consistente).
    • Turbulento (coluna 3): \theta(x)=x\cdot\frac{0{,}037}{\mathrm{Re}_x^{1/5}}=0{,}037\,x\left(\frac{\nu}{U x}\right)^{1/5} =0{,}037\,\nu^{1/5}U^{-1/5}\,x^{4/5}.Derivando: \frac{d\theta}{dx}=0{,}037\,\nu^{1/5}U^{-1/5}\cdot\frac{4}{5}x^{-1/5} =\frac{4}{5}\cdot0{,}037\,\nu^{1/5}U^{-1/5}x^{-1/5}.Aplicando C_{f,x}=2\,d\theta/dx: C_{f,x}^{\text{(turb)}}=2\frac{d\theta}{dx} =2\cdot\frac{4}{5}\cdot0{,}037\left(\frac{\nu}{U x}\right)^{1/5} =\frac{8}{5}\cdot0{,}037\left(\frac{\nu}{U x}\right)^{1/5}.Calculando o fator numérico: \dfrac{8}{5}\cdot0{,}037=1{,}6\cdot0{,}037=0{,}0592\approx0{,}059. Portanto C_{f,x}^{\text{(turb)}}\approx0{,}059\left(\frac{\nu}{U x}\right)^{1/5} =\frac{0{,}059}{\mathrm{Re}_x^{1/5}},também consistente com a forma exibida na tabela (pequenas diferenças numéricas são de arredondamento).

Passo 4

Escrevendo as duas expressões finais de C_{f,x} como funções de x (usando \mathrm{Re}_x=Ux/\nu):
  • Laminar: C_{f,x}^{\text{(lam)}}=\frac{0{,}664}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}} =0{,}664\sqrt{\frac{\nu}{U x}}.
  • Turbulento (começando turbulento no bordo de ataque): C_{f,x}^{\text{(turb)}}=\frac{0{,}059}{\mathrm{Re}_x^{1/5}} =0{,}059\left(\frac{\nu}{U x}\right)^{1/5}.
Essas são as fórmulas que se devem plotar como C_{f,x} vs.\ x. Observação prática: para x\to0 ambas crescem, mas a expressão turbulenta é apenas empírica e não física exatamente na vizinhança de x=0; o enunciado pede explicitamente assumir turbulento desde o bordo, então usaremos a fórmula para fazer o gráfico.

Passo 5

Parâmetros numéricos usados para gerar pontos e para calcular a força total:
  • U=10\\ \mathrm{m/s}.
  • \nu=1{,}5617\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • \rho=1{,}184\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Largura da placa w=1\\ \mathrm{m}.
  • Valor final pedido: \mathrm{Re}_x=10^{6}. O comprimento correspondente é L=\frac{\nu\,\mathrm{Re}_x}{U}=\frac{1{,}5617\times10^{-5}\cdot10^{6}}{10}=1{,}5617\\ \mathrm{m}.(Portanto os gráficos vão de x próximo de zero até x=L\approx1{,}5617\\ \mathrm{m}.)

Passo 6

Valores numéricos de C_{f,x} em pontos representativos (para montar o gráfico; ponto final x=L corresponde a \mathrm{Re}_x=10^6). Calculei \mathrm{Re}_x=640503{,}9\cdot x (com x em metros) para facilitar. Abaixo, uma seleção de x e os correspondentes C_{f,x}:
  • Para x=0{,}001\\ \mathrm{m}: \mathrm{Re}_x\approx640{,}5, C_{f,x}^{\text{(lam)}}\approx0{,}02624,\qquad C_{f,x}^{\text{(turb)}}\approx0{,}01620.
  • Para x=0{,}005\\ \mathrm{m}: \mathrm{Re}_x\approx3{,}202{,}5, C_{f,x}^{\text{(lam)}}\approx0{,}01173,\qquad C_{f,x}^{\text{(turb)}}\approx0{,}01174.
  • Para x=0{,}01\\ \mathrm{m}: \mathrm{Re}_x\approx6{,}405, C_{f,x}^{\text{(lam)}}\approx0{,}00830,\qquad C_{f,x}^{\text{(turb)}}\approx0{,}01022.
  • Para x=0{,}05\\ \mathrm{m}: \mathrm{Re}_x\approx32{,}025, C_{f,x}^{\text{(lam)}}\approx0{,}00371,\qquad C_{f,x}^{\text{(turb)}}\approx0{,}00742.
  • Para x=0{,}1\\ \mathrm{m}: \mathrm{Re}_x\approx64{,}050, C_{f,x}^{\text{(lam)}}\approx0{,}00262,\qquad C_{f,x}^{\text{(turb)}}\approx0{,}00608.
  • Para x=0{,}5\\ \mathrm{m}: \mathrm{Re}_x\approx320{,}252, C_{f,x}^{\text{(lam)}}\approx0{,}001173,\qquad C_{f,x}^{\text{(turb)}}\approx0{,}00468.
  • Para x=1{,}0\\ \mathrm{m}: \mathrm{Re}_x\approx640{,}504, C_{f,x}^{\text{(lam)}}\approx0{,}00083,\qquad C_{f,x}^{\text{(turb)}}\approx0{,}00407.
  • Para x=L\approx1{,}5617\\ \mathrm{m} (fim, \mathrm{Re}_x=10^6): C_{f,x}^{\text{(lam)}}=\frac{0{,}664}{\sqrt{10^6}}=0{,}000664,\qquad C_{f,x}^{\text{(turb)}}=\frac{0{,}059}{(10^6)^{1/5}}=\frac{0{,}059}{10^{1{,}2}}\approx0{,}003724.
Comentários para o gráfico: com essas fórmulas e pontos você pode traçar curvas suaves em qualquer software (Excel, Python/Matplotlib, MATLAB). A curva laminar decai como x^{-1/2} e a turbulenta como x^{-1/5}; portanto a curva laminar cai mais rápido com x.

Passo 7

Cálculo da força de atrito total (integrando a tensão de cisalhamento ao longo da placa) para as duas situações.
  • Primeiro, relação entre C_{f,x} e \tau_w(x): \tau_w(x)=\frac{1}{2}\rho U^2 C_{f,x}(x).A força de atrito total sobre a placa de x=0 até x=L e largura w é F=\;w\int_{0}^{L}\tau_w(x)\,dx =\frac{1}{2}\rho U^2 w\int_{0}^{L}C_{f,x}(x)\,dx.
  • Integração para o caso laminar usando C_{f,x}^{\text{(lam)}}=0{,}664\sqrt{\dfrac{\nu}{U}}\,x^{-1/2}: F_{\text{lam}}=\frac{1}{2}\rho U^2 w\int_{0}^{L}0{,}664\sqrt{\frac{\nu}{U}}\,x^{-1/2}\,dx =\frac{1}{2}\rho U^2 w\cdot0{,}664\sqrt{\frac{\nu}{U}}\cdot 2L^{1/2}.Simplificando: F_{\text{lam}}=0{,}664\,\rho\,\nu\,U\,w\,\sqrt{\mathrm{Re}_L}.(Usei \sqrt{\mathrm{Re}_L}=\sqrt{\dfrac{U L}{\nu}} para obter a forma compacta.)
  • Integração para o caso turbulento usando C_{f,x}^{\text{(turb)}}=0{,}059\left(\dfrac{\nu}{U x}\right)^{1/5}: F_{\text{turb}}=\frac{1}{2}\rho U^2 w\int_{0}^{L}0{,}059\left(\frac{\nu}{U}\right)^{1/5}x^{-1/5}\,dx.A integral \int_0^L x^{-1/5}\,dx=\dfrac{5}{4}L^{4/5}. Assim F_{\text{turb}}=\frac{1}{2}\rho U^2 w\cdot0{,}059\left(\frac{\nu}{U}\right)^{1/5}\cdot\frac{5}{4}L^{4/5}.Simplificando os fatores, chega-se à forma compacta (usar L=\nu\mathrm{Re}_L/U): F_{\text{turb}}=0{,}036875\,\rho\,\nu\,U\,w\,\mathrm{Re}_L^{4/5}.(Note que 0{,}036875=0{,}059\times\dfrac{5}{8} — essa forma mostrou-se conveniente para avaliação numérica.)
  • Avaliação numérica com \rho=1{,}184\\ \mathrm{kg/m^3}, \nu=1{,}5617\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}, U=10\\ \mathrm{m/s}, w=1\\ \mathrm{m}, \mathrm{Re}_L=10^{6}:
    • Primeiro calcule o produto \rho\nu U w = \rho\nu U\cdot w: \rho\nu U w =1{,}184\times1{,}5617\times10^{-5}\times10\times1 \approx1{,}849\times10^{-4}\\ \mathrm{(SI)}.
    • Agora: F_{\text{lam}}=0{,}664\times(1{,}849\times10^{-4})\times\sqrt{10^{6}} =0{,}664\times1{,}849\times10^{-4}\times1000 \approx0{,}1227\\ \mathrm{N}.
    • Para o caso turbulento: F_{\text{turb}}=0{,}036875\times(1{,}849\times10^{-4})\times(10^{6})^{4/5} =0{,}036875\times1{,}849\times10^{-4}\times10^{4{,}8} \approx0{,}4300\\ \mathrm{N}.
  • Interpretação numérica: com as hipóteses dadas, a força de atrito total até \mathrm{Re}_x=10^{6} é aproximadamente 0{,}123\\ \mathrm{N} no caso inteiramente laminar e aproximadamente 0{,}430\\ \mathrm{N} se a camada-limite for turbulenta desde o bordo.

Passo 8

Instruções rápidas para produzir os plots C_{f,x}(x) vs x (pronto para copiar/colar num programa):
  • Defina \nu=1{,}5617\times10^{-5}, U=10. Gere um vetor x de valores entre, por exemplo, x_{\min}=10^{-4}\\ \mathrm{m} e x_{\max}=1{,}5617\\ \mathrm{m} (usar escala linear ou log para visualizar bem). Para cada x calcule: C_{f,x}^{\text{(lam)}}(x)=0{,}664\sqrt{\frac{\nu}{U x}},\qquad C_{f,x}^{\text{(turb)}}(x)=0{,}059\left(\frac{\nu}{U x}\right)^{1/5}.
  • Plote as duas curvas no mesmo gráfico. Recomendo eixo x em escala linear e C_{f,x} em escala linear; para ver melhor o início use também um gráfico com eixo x em escala log.
  • Observação empírica do gráfico: para x muito pequeno C_{f,x}^{\text{(lam)}} pode ser maior que C_{f,x}^{\text{(turb)}}, mas à medida que x cresce o C_{f,x}^{\text{(lam)}} decai mais rápido ( \propto x^{-1/2}) que o turbulento ( \propto x^{-1/5}), fazendo com que a área integrada (força total) do turbulento seja maior.

Resposta

C_{f,x}^{\text{(lam)}}(x)=0{,}664\sqrt{\dfrac{\nu}{U x}}=\dfrac{0{,}664}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}
C_{f,x}^{\text{(turb)}}(x)=0{,}059\left(\dfrac{\nu}{U x}\right)^{1/5}=\dfrac{0{,}059}{\mathrm{Re}_x^{1/5}}
F_{\text{lam}}\approx0{,}123\\ \mathrm{N} (para w=1\\ \mathrm{m} e \mathrm{Re}_L=10^{6})
F_{\text{turb}}\approx0{,}430\\ \mathrm{N} (para w=1\\ \mathrm{m} e \mathrm{Re}_L=10^{6})
Portanto, para \mathrm{Re}_x=10^{6} a força líquida total é maior quando a camada-limite é turbulenta (caso turbulento).

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