Questão 17: [Tarefa computacional] A partir da definição da espessura de momento, encontre uma expressão para a força de atrito ao longo de uma placa plana para um escoamento laminar e turbulento. Para isso, utilize as expressões da Tabela 10-4 do livro texto do Çengel para a espessura de deslocamento, utilizando as expressões da primeira e terceira colunas.
Resumo das expressões para camadas limites laminar e turbulenta sobre uma placa lisa paralela a uma corrente uniforme*
Table 1: TABELA 10-4\captionsetup{labelformat=empty}
Propriedade
Laminar
(a) Turbulenta
(b) Turbulenta
Espessura da camada limite
Espessura de deslocamento
Espessura da quantidade de movimento
Coeficiente local de atrito superficial
Plote o valor de
vs.
para um C.L. laminar até a condição de
. Ainda, plote a mesma variável assumindo C.L. turbulento logo no bordo de ataque da placa. Admita que o fluido é ar a
. Admita uma velocidade da corrente livre de
de
. Se necessário, admita que a placa plana tem profundidade
. Para esse valor de
, em qual das situações a força líquida total é maior? Na situação em que a C.L. é laminar ou turbulenta?
Table 1: TABELA 10-4
\captionsetup{labelformat=empty}
| Propriedade | Laminar | (a) Turbulenta
|
(b) Turbulenta
|
| Espessura da camada limite |
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| Espessura de deslocamento |
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| Espessura da quantidade de movimento |
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| Coeficiente local de atrito superficial |
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Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado (resumo claro, peguei estes dados do enunciado):
- Pedidos:
- A partir da definição da espessura de momento, obter uma expressão para a força de atrito sobre uma placa plana para escoamento laminar e para escoamento turbulento (usar as expressões das colunas 1 e 3 da Tabela 10-4 do Çengel).
- Plote
vs.\ para o caso laminar até a condição . - Plote
vs.\ supondo camada-limite turbulenta já no bordo de ataque. - Para o mesmo valor de
, comparar a força líquida total (laminar vs turbulenta).
- Dados numéricos fornecidos / hipóteses que devo usar:
- Velocidade da corrente livre:
. - Fluido: ar a
. (Usarei valores padrão: densidade e viscosidade cinemática .) - Profundidade da placa (largura no eixo
): (se necessário para força total). - A Tabela 10-4 (coluna 1 laminar e coluna 3 turbulenta) fornece as leis aproximadas para
e também para ; vou começar usando as expressões de (espessura de momento normalizada) da tabela e aplicar a definição que relaciona com .
- Velocidade da corrente livre:
- Observação importante (não resolvo aqui): o enunciado pede plots; vou fornecer expressões analíticas, pontos numéricos para plot e instruções para gerar o gráfico num software; o passo final compara as forças totais.
Passo 2
Conceitos principais e a relação que vou usar (aulas passo-a-passo, sem pular etapas).
- Definição física da espessura de momento
: onde é a velocidade na direção paralela à placa no ponto , é a velocidade da corrente livre e é a espessura da camada-limite. A espessura de momento quantifica a perda de quantidade de movimento devido à presença da camada-limite. - Equação integral da quantidade de movimento (von Kármán) para uma placa plana em escoamento incompressível com pressão externa constante (
): onde é a tensão de cisalhamento na parede. Muitos textos usam a forma com o coeficiente de atrito local : Combinando as duas expressões obtém-se uma relação simples e muito útil: Explicando em palavras: derivar em relação a dá (dividido por 2) o coeficiente de atrito local. Isso permite obter diretamente se soubermos a expressão de . - Observação sobre dependência de
: a tabela dá em função de , sendo . Para obter e , substitui-se por e faz-se a diferenciação em .
Passo 3
Obtendo
a partir das expressões tabeladas de
(coluna 1: laminar; coluna 3: turbulenta).
- Expressões da tabela (coluna 1 e coluna 3) para
(peguei essas expressões da Tabela 10-4): - Laminar (coluna 1):
- Turbulento (coluna 3):
- Laminar (coluna 1):
- Passo intermediário: expressar
explicitamente usando . - Laminar:
Agora derivar: Aplicando : Reescrevendo em termos de : que é a forma usual da tabela (verificação consistente). - Turbulento (coluna 3):
Derivando: Aplicando : Calculando o fator numérico: . Portanto também consistente com a forma exibida na tabela (pequenas diferenças numéricas são de arredondamento).
- Laminar:
Passo 4
Escrevendo as duas expressões finais de
como funções de
(usando
):
- Laminar:
- Turbulento (começando turbulento no bordo de ataque):
Essas são as fórmulas que se devem plotar como
vs.\
. Observação prática: para
ambas crescem, mas a expressão turbulenta é apenas empírica e não física exatamente na vizinhança de
; o enunciado pede explicitamente assumir turbulento desde o bordo, então usaremos a fórmula para fazer o gráfico.
Passo 5
Parâmetros numéricos usados para gerar pontos e para calcular a força total:
-
. -
. -
. - Largura da placa
. - Valor final pedido:
. O comprimento correspondente é (Portanto os gráficos vão de próximo de zero até .)
Passo 6
Valores numéricos de
em pontos representativos (para montar o gráfico; ponto final
corresponde a
). Calculei
(com
em metros) para facilitar. Abaixo, uma seleção de
e os correspondentes
:
- Para
: , - Para
: , - Para
: , - Para
: , - Para
: , - Para
: , - Para
: , - Para
(fim, ):
Comentários para o gráfico: com essas fórmulas e pontos você pode traçar curvas suaves em qualquer software (Excel, Python/Matplotlib, MATLAB). A curva laminar decai como
e a turbulenta como
; portanto a curva laminar cai mais rápido com
.
Passo 7
Cálculo da força de atrito total (integrando a tensão de cisalhamento ao longo da placa) para as duas situações.
- Primeiro, relação entre
e : A força de atrito total sobre a placa de até e largura é - Integração para o caso laminar usando
: Simplificando: (Usei para obter a forma compacta.) - Integração para o caso turbulento usando
: A integral . Assim Simplificando os fatores, chega-se à forma compacta (usar ): (Note que — essa forma mostrou-se conveniente para avaliação numérica.) - Avaliação numérica com
, , , , : - Primeiro calcule o produto
: - Agora:
- Para o caso turbulento:
- Primeiro calcule o produto
- Interpretação numérica: com as hipóteses dadas, a força de atrito total até
é aproximadamente no caso inteiramente laminar e aproximadamente se a camada-limite for turbulenta desde o bordo.
Passo 8
Instruções rápidas para produzir os plots
vs
(pronto para copiar/colar num programa):
- Defina
, . Gere um vetor de valores entre, por exemplo, e (usar escala linear ou log para visualizar bem). Para cada calcule: - Plote as duas curvas no mesmo gráfico. Recomendo eixo
em escala linear e em escala linear; para ver melhor o início use também um gráfico com eixo em escala log. - Observação empírica do gráfico: para
muito pequeno pode ser maior que , mas à medida que cresce o decai mais rápido ( ) que o turbulento ( ), fazendo com que a área integrada (força total) do turbulento seja maior.
Resposta
Portanto, para