Questão 18: [Tarefa computacional] Assumindo R e_{x}=10^{6}, plote e compare os perfis de velocidade laminar e turbulento. Para a C.L. turbulenta, assuma a lei de potência de um sétimo. Para a C.L. laminar, utilize como base a solução de Blasius fornecida na Tab. 10-3 para f^{\prime}. Admita que o fluido é ar a 25^{\circ} \mathrm{C}. Admita a velocidade da corrente livre U igual a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (listando tudo claramente):
  • Pedido: plote e compare os perfis de velocidade na camada limite para os casos laminar e turbulento, assumindo \mathrm{Re}_x = 10^{6}.
  • Dados fornecidos:
    • \mathrm{Re}_x = 10^{6}.
    • Fluido: ar a 25^\circ\mathrm{C} (valor físico necessário: viscosidade cinemática).
    • Velocidade da corrente livre: U = 10\\ \mathrm{m/s}.
    • Para camada limite turbulenta: usar a lei de potência de expoente 1/7.
    • Para camada limite laminar: usar a solução de Blasius (tabela de f'(\eta) — usaremos a solução numérica/tablada de Blasius como base).
  • Observação prática: a posição x da borda de referência está implícita em \mathrm{Re}_x = U x / \nu. Assim, a partir de \mathrm{Re}_x e de \nu pode-se obter x. Em seguida calculam-se as espessuras e os perfis.

Passo 2

Escolher valor para a viscosidade cinemática do ar a 25^\circ\mathrm{C} e encontrar x.
  • Vou adotar a viscosidade cinemática típica do ar a 25^\circ\mathrm{C}: \nu = 1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}. (Se desejar valor mais preciso, pode-se trocar \nu no código.)
  • A definição de número de Reynolds local é
\mathrm{Re}_x = \dfrac{U x}{\nu}.
  • Despejando x:
x = \dfrac{\mathrm{Re}_x\,\nu}{U}.
  • Substituindo os valores:
x = \dfrac{10^{6}\times 1{,}5\times10^{-5}}{10}=\dfrac{15}{10}=1{,}5\\ \mathrm{m}.
Portanto, o ponto em que estamos avaliando a camada limite é x=1{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Definições e fórmulas para as espessuras e perfis (teoria necessária e explicada passo a passo).
  • Para o caso laminar (Blasius):
    • A solução de Blasius fornece um perfil universal em função da variável de similaridade \eta\), definida por \[\eta = y\sqrt{\dfrac{U}{\nu x}},
    onde y é a coordenada normal à placa, U é a velocidade livre e x é a distância a partir da aresta de ataque.
    • A velocidade tangencial no interior da camada limite é dada por
    \dfrac{u(y)}{U} = f'(\eta),onde f(\eta) satisfaz a equação de Blasius f''' + \tfrac{1}{2} f f'' = 0com condições de contorno f(0)=0,\\ f'(0)=0,\\ f'(\infty)=1. A função f'(\eta) é normalmente obtida numericamente ou em tabela (é isso que a Tab.10-3 fornece). Em provas, costuma-se usar a tabela de f'(\eta) ou integrar numericamente a ODE.
    • Uma estimativa prática para a espessura onde u alcança 99\% de U (definida como \delta_{99}) na solução de Blasius é
    \delta_{99,\text{lam}} \approx 5{,}0\,\dfrac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}.Explicação rápida dessa fórmula: a variável \eta cresce como y\sqrt{U/(\nu x)}; o valor de \eta para f'(\eta)\approx0{,}99 é aproximadamente 5, daí a expressão acima.
  • Para o caso turbulento (lei de potência 1/7):
    • A lei de potência (modelo empírico) é
    \dfrac{u(y)}{U} = \begin{cases} \left(\dfrac{y}{\delta}\right)^{1/7}, & 0\le y\le\delta,\\[6pt] 1, & y>\delta, \end{cases}onde \delta\] é a espessura da camada limite turbulenta. - Uma correção empírica para a espessura turbulenta ao longo de uma placa lisa é \[\dfrac{\delta_{\text{turb}}}{x} \approx 0{,}37\,\mathrm{Re}_x^{-1/5}.\] Isso vem de ajustes empíricos e é muito usado em exercícios básicos. - Em resumo: para construir os perfis vamos: 1. Calcular \(x a partir de \mathrm{Re}_x.
    2. Calcular \delta_{99,\text{lam}} pela fórmula acima.
    3. Calcular \delta_{\text{turb}} pela fórmula empírica.
    4. Construir u/U vs y para Blasius usando a tabela/núcleo numérico de f'(\eta) (ou integrando a ODE) e para turbulento usar a lei de potência com a \delta_{\text{turb}} calculada.
    - Observação pedagógica: a variável \eta “encolhe” a coordenada y para dar um perfil universal; isso é super útil na prova — se souberes x, \nu e U consegues transformar y\to\eta e usar diretamente a tabela de f'(\eta).]

Passo 4

Cálculo numérico das espessuras para \mathrm{Re}_x = 10^{6} e x=1{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Espessura laminar estimada ( \delta_{99,\text{lam}}):
\delta_{99,\text{lam}} \approx 5{,}0\,\dfrac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}} =5{,}0\cdot\dfrac{1{,}5}{\sqrt{10^{6}}} =5{,}0\cdot\dfrac{1{,}5}{1000} = \dfrac{7{,}5}{1000}=0{,}0075\\ \mathrm{m}.
Portanto,
\delta_{99,\text{lam}} \approx 7{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Espessura turbulenta estimada ( \delta_{\text{turb}}):
\delta_{\text{turb}} \approx 0{,}37\,x\,\mathrm{Re}_x^{-1/5}.
Calculemos \mathrm{Re}_x^{-1/5}. Como \mathrm{Re}_x=10^{6},
\mathrm{Re}_x^{-1/5} = 10^{-6/5} = 10^{-1{,}2} \approx 0{,}0630957.
Assim
\delta_{\text{turb}} \approx 0{,}37\times 1{,}5\times 0{,}0630957 \approx 0{,}0350\\ \mathrm{m}.
Ou seja,
\delta_{\text{turb}} \approx 35\\ \mathrm{mm}.
Comentário: a camada limite turbulenta é muito mais espessa que a laminar neste mesmo x para o \mathrm{Re}_x dado.

Passo 5

Como obter os perfis numéricos (passo a passo, com um código pronto para plot): integrar Blasius numericamente e montar a lei de potência; seguida por instruções para gerar o gráfico comparativo.
  • Ideia para laminar: integrar numericamente a equação de Blasius para obter f'(\eta) em uma malha de \eta (por exemplo de 0 a 8). Em seguida transformar para y usando
y = \eta \sqrt{\dfrac{\nu x}{U}}.
  • Ideia para turbulento: calcular \delta_{\text{turb}} como em

Passo 6

\dfrac{u}{U}=\left(\dfrac{y}{\delta_{\text{turb}}}\right)^{1/7}
para 0\le y\le\delta_{\text{turb}} (e u/U=1 para y>\delta_{\text{turb}}).
  • Abaixo está um script Python (pode ser executado localmente) que:
    1. Integra a ODE de Blasius por método de tiros (função solve_ivp do SciPy).
    2. Constrói o perfil laminar u/U=f'(\eta) e converte para y.
    3. Constrói o perfil turbulento pela lei de potência 1/7.
    4. Plota ambos perfis em função de y (em mm) e também normalizados em função de y/\delta.
  • Código (copiar/colar e executar num ambiente com Python, numpy, scipy e matplotlib):
# Código para gerar os perfis laminar (Blasius) e turbulento (1/7) e plotar
import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
import matplotlib.pyplot as plt

# Dados
U = 10.0           # m/s
nu = 1.5e-5        # m^2/s (ar a 25 C)
Re_x = 1e6
x = Re_x * nu / U  # m

# Espessuras estimadas
delta_lam = 5.0 * x / np.sqrt(Re_x)        # delta_99 laminar
delta_turb = 0.37 * x * Re_x**(-1/5)      # turbulento empírico

# --- Blasius ODE: transform to first order system
# f1 = f, f2 = f', f3 = f''
def blasius_ode(eta, F):
    f1, f2, f3 = F
    return [f2, f3, -0.5 * f1 * f3]

# shooting: guess f''(0) (f3(0)) and integrate to large eta until f2->1
def shoot(fpp0):
    sol = solve_ivp(blasius_ode, [0, 8.0], [0.0, 0.0, fpp0],
                    t_eval=np.linspace(0, 8.0, 1001), rtol=1e-8, atol=1e-10)
    return sol

# find good initial f''(0) by simple shooting (bisection-ish)
a, b = 0.3, 0.5  # bracket for f''(0)
sa = shoot(a).y[1, -1] - 1.0
sb = shoot(b).y[1, -1] - 1.0
for _ in range(30):
    m = 0.5*(a+b)
    sm = shoot(m).y[1, -1] - 1.0
    if sa*sm <= 0:
        b, sb = m, sm
    else:
        a, sa = m, sm
fpp0 = 0.5*(a+b)
sol = shoot(fpp0)

eta = sol.t
fprime = sol.y[1]

# transformar eta -> y
y = eta * np.sqrt(nu * x / U)

# Construir malha y mais fina até 1.2*delta_turb para comparação
y_plot = np.linspace(0, 1.2*delta_turb, 400)
# interpolar f' para valores de y
u_over_U_lam = np.interp(y_plot, y, fprime, left=0.0, right=1.0)

# Perfil turbulento (1/7 law)
u_over_U_turb = np.empty_like(y_plot)
for i, yy in enumerate(y_plot):
    if yy <= delta_turb:
        u_over_U_turb[i] = (yy / delta_turb)**(1/7)
    else:
        u_over_U_turb[i] = 1.0

# Plots
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(y_plot*1000, u_over_U_lam, label='Laminar (Blasius)', lw=2)
plt.plot(y_plot*1000, u_over_U_turb, label='Turbulento (lei 1/7)', lw=2, ls='--')
plt.axvline(delta_lam*1000, color='C0', ls=':', label=f'δ_99 lam = {delta_lam*1000:.2f} mm')
plt.axvline(delta_turb*1000, color='C1', ls=':', label=f'δ_turb = {delta_turb*1000:.2f} mm')
plt.xlabel('y (mm)')
plt.ylabel('u/U')
plt.title('Perfis de velocidade na camada limite em x = {:.2f} m (Re_x = {:g})'.format(x, Re_x))
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.ylim(-0.02, 1.05)
plt.show()

# Plot adimensionalizado por delta (opcional)
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(y_plot/delta_lam, u_over_U_lam, label='Laminar (Blasius) vs y/δ_lam', lw=2)
plt.plot(y_plot/delta_turb, u_over_U_turb, label='Turbulento (1/7) vs y/δ_turb', lw=2, ls='--')
plt.xlabel('y/δ')
plt.ylabel('u/U')
plt.title('Perfis normalizados por δ (comparação de forma)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.ylim(-0.02,1.05)
plt.show()
  • Explicação do código (passo a passo):
    • Integra-se a ODE de Blasius transformada em sistema de 1ª ordem.
    • Usa-se método de “shooting”: supõe-se um valor inicial para f''(0), integra-se até \eta=8 e verifica-se f'(\eta\to\infty)\to1. Ajusta-se f''(0) até que f'(\eta) tenda para 1 (bissecção simples no exemplo).
    • A solução f'(\eta) é interpolada para construir u/U vs y.
    • A lei de potência turbulenta é usada diretamente com \delta_{\text{turb}} calculada em

Passo 7

  • São gerados dois gráficos: u/U vs y em mm e u/U vs y/\delta (para comparar a forma).

Passo 8

Interpretação física e observações que aparecem no gráfico (como comparar na hora da prova).
  • Resultados numéricos principais (já calculados em

Passo 9

  • x = 1{,}5\\ \mathrm{m}.
    • \delta_{99,\text{lam}} \approx 0{,}0075\\ \mathrm{m} = 7{,}5\\ \mathrm{mm}.
    • \delta_{\text{turb}} \approx 0{,}0350\\ \mathrm{m} = 35\\ \mathrm{mm}.
  • O que esperar do gráfico:
    • O perfil laminar (Blasius) sobe de u=0 na parede até u\approx U em cerca de 7{,}5\\ \mathrm{mm}; é mais “estreito”.
    • O perfil turbulento (1/7) se estende até cerca de 35\\ \mathrm{mm}; a variação de u é mais suave perto do bordo externo, e a curva tem forma diferente (geralmente mais “plana” na região externa e com maior gradiente muito próximo à parede quando comparado com Blasius em termos adimensionalizados adequados).
  • Observação prática para a prova: se pedirem comparar “qual é mais cheio/próximo de U perto da parede” — comparamos em termos de y absoluto:
    • A camada turbulenta é mais espessa, então em uma dada distância absoluta y pequena (por exemplo y=2\\ \mathrm{mm}) pode-se obter diferentes razões u/U dependendo de qual perfil. Por isso é melhor comparar usando mesma escala (p.ex. y em mm) e notar as posições das duas espessuras.
  • Comparação pontual simples (exemplo explicativo — como fazer na prova):
    • Se quiser comparar os perfis no mesmo y absoluto, calcula-se u/U de cada perfil naquele y.
    • Se comparar em termos de fração do respectivo \delta (usar y/\delta), obtém-se a forma normalizada: aí o laminar atinge u/U\approx0{,}99 quando y/\delta_{lam}\approx1, enquanto a lei 1/7 atinge u/U=1 em y/\delta_{turb}=1. Para ver qual é “mais cheia” na região externa, observe u/U para valores elevados de y/\delta.

Passo 10

Dicas de apresentação na prova e verificação rápida:
  • Mostre os cálculos de x (a partir de \mathrm{Re}_x), mostre as fórmulas usadas para \delta_{99,\text{lam}} e \delta_{\text{turb}} e calcule numericamente (faça exatamente como nos passos).
  • Se pedirem o gráfico no papel: podes desenhar u/U vs y em mm, marcando as duas linhas verticais em y=\delta_{99,\text{lam}} e y=\delta_{\text{turb}}, e traçar qualitativamente:
    • Blasius: curva que sobe rápido e atinge quase 1 em y\sim 7{,}5\\ \mathrm{mm}.
    • Turbulento: lei 1/7: curva mais esticada em y que cruza u/U=1 em y\sim 35\\ \mathrm{mm}.
  • Se quiser uma visão mais rigorosa, rode o código do

Resposta

x = 1{,}5\\ \mathrm{m}
\delta_{99,\text{lam}} \approx 0{,}0075\\ \mathrm{m} = 7{,}5\\ \mathrm{mm}
\delta_{\text{turb}} \approx 0{,}0350\\ \mathrm{m} = 35\\ \mathrm{mm}
Observação final: os perfis podem ser plotados numericamente integrando Blasius para o caso laminar e usando a lei de potência 1/7 para o caso turbulento; o código Python fornecido no passo 5 gera os gráficos comparativos.

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