Questão 18: [Tarefa computacional] Assumindo R e_{x}=10^{6}, plote e compare os perfis de velocidade laminar e turbulento. Para a C.L. turbulenta, assuma a lei de potência de um sétimo. Para a C.L. laminar, utilize como base a solução de Blasius fornecida na Tab. 10-3 para f^{\prime}. Admita que o fluido é ar a 25^{\circ} \mathrm{C}. Admita a velocidade da corrente livre U igual a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (listando tudo claramente):
Pedido: plote e compare os perfis de velocidade na camada limite para os casos laminar e turbulento, assumindo \mathrm{Re}_x = 10^{6}.
Dados fornecidos:
\mathrm{Re}_x = 10^{6}.
Fluido: ar a 25^\circ\mathrm{C} (valor físico necessário: viscosidade cinemática).
Velocidade da corrente livre: U = 10\\ \mathrm{m/s}.
Para camada limite turbulenta: usar a lei de potência de expoente 1/7.
Para camada limite laminar: usar a solução de Blasius (tabela de f'(\eta) — usaremos a solução numérica/tablada de Blasius como base).
Observação prática: a posição x da borda de referência está implícita em \mathrm{Re}_x = U x / \nu. Assim, a partir de \mathrm{Re}_x e de \nu pode-se obter x. Em seguida calculam-se as espessuras e os perfis.
Passo 2
Escolher valor para a viscosidade cinemática do ar a 25^\circ\mathrm{C} e encontrar x.
Vou adotar a viscosidade cinemática típica do ar a 25^\circ\mathrm{C}: \nu = 1{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}. (Se desejar valor mais preciso, pode-se trocar \nu no código.)
A definição de número de Reynolds local é
\mathrm{Re}_x = \dfrac{U x}{\nu}.
Despejando x:
x = \dfrac{\mathrm{Re}_x\,\nu}{U}.
Substituindo os valores:
x = \dfrac{10^{6}\times 1{,}5\times10^{-5}}{10}=\dfrac{15}{10}=1{,}5\\ \mathrm{m}.
Portanto, o ponto em que estamos avaliando a camada limite é x=1{,}5\\ \mathrm{m}.
Passo 3
Definições e fórmulas para as espessuras e perfis (teoria necessária e explicada passo a passo).
Para o caso laminar (Blasius):
A solução de Blasius fornece um perfil universal em função da variável de similaridade \eta\), definida por
\[\eta = y\sqrt{\dfrac{U}{\nu x}},
onde y é a coordenada normal à placa, U é a velocidade livre e x é a distância a partir da aresta de ataque.
A velocidade tangencial no interior da camada limite é dada por
\dfrac{u(y)}{U} = f'(\eta),onde f(\eta) satisfaz a equação de Blasiusf''' + \tfrac{1}{2} f f'' = 0com condições de contorno f(0)=0,\\ f'(0)=0,\\ f'(\infty)=1. A função f'(\eta) é normalmente obtida numericamente ou em tabela (é isso que a Tab.10-3 fornece). Em provas, costuma-se usar a tabela de f'(\eta) ou integrar numericamente a ODE.
Uma estimativa prática para a espessura onde u alcança 99\% de U (definida como \delta_{99}) na solução de Blasius é
\delta_{99,\text{lam}} \approx 5{,}0\,\dfrac{x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}.Explicação rápida dessa fórmula: a variável \eta cresce como y\sqrt{U/(\nu x)}; o valor de \eta para f'(\eta)\approx0{,}99 é aproximadamente 5, daí a expressão acima.
Para o caso turbulento (lei de potência 1/7):
A lei de potência (modelo empírico) é
\dfrac{u(y)}{U} = \begin{cases} \left(\dfrac{y}{\delta}\right)^{1/7}, & 0\le y\le\delta,\\[6pt] 1, & y>\delta, \end{cases}onde \delta\] é a espessura da camada limite turbulenta.
- Uma correção empírica para a espessura turbulenta ao longo de uma placa lisa é
\[\dfrac{\delta_{\text{turb}}}{x} \approx 0{,}37\,\mathrm{Re}_x^{-1/5}.\]
Isso vem de ajustes empíricos e é muito usado em exercícios básicos.
- Em resumo: para construir os perfis vamos:
1. Calcular \(x a partir de \mathrm{Re}_x.
2. Calcular \delta_{99,\text{lam}} pela fórmula acima.
3. Calcular \delta_{\text{turb}} pela fórmula empírica.
4. Construir u/U vs y para Blasius usando a tabela/núcleo numérico de f'(\eta) (ou integrando a ODE) e para turbulento usar a lei de potência com a \delta_{\text{turb}} calculada.
- Observação pedagógica: a variável \eta “encolhe” a coordenada y para dar um perfil universal; isso é super útil na prova — se souberes x, \nu e U consegues transformar y\to\eta e usar diretamente a tabela de f'(\eta).]
Passo 4
Cálculo numérico das espessuras para \mathrm{Re}_x = 10^{6} e x=1{,}5\\ \mathrm{m}.
Espessura laminar estimada (\delta_{99,\text{lam}}):
Comentário: a camada limite turbulenta é muito mais espessa que a laminar neste mesmo x para o \mathrm{Re}_x dado.
Passo 5
Como obter os perfis numéricos (passo a passo, com um código pronto para plot): integrar Blasius numericamente e montar a lei de potência; seguida por instruções para gerar o gráfico comparativo.
Ideia para laminar: integrar numericamente a equação de Blasius para obter f'(\eta) em uma malha de \eta (por exemplo de 0 a 8). Em seguida transformar para y usando
y = \eta \sqrt{\dfrac{\nu x}{U}}.
Ideia para turbulento: calcular \delta_{\text{turb}} como em
para 0\le y\le\delta_{\text{turb}} (e u/U=1 para y>\delta_{\text{turb}}).
Abaixo está um script Python (pode ser executado localmente) que:
Integra a ODE de Blasius por método de tiros (função solve_ivp do SciPy).
Constrói o perfil laminar u/U=f'(\eta) e converte para y.
Constrói o perfil turbulento pela lei de potência 1/7.
Plota ambos perfis em função de y (em mm) e também normalizados em função de y/\delta.
Código (copiar/colar e executar num ambiente com Python, numpy, scipy e matplotlib):
# Código para gerar os perfis laminar (Blasius) e turbulento (1/7) e plotarimport numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
import matplotlib.pyplot as plt
# Dados
U = 10.0# m/s
nu = 1.5e-5# m^2/s (ar a 25 C)
Re_x = 1e6
x = Re_x * nu / U # m# Espessuras estimadas
delta_lam = 5.0 * x / np.sqrt(Re_x) # delta_99 laminar
delta_turb = 0.37 * x * Re_x**(-1/5) # turbulento empírico# --- Blasius ODE: transform to first order system# f1 = f, f2 = f', f3 = f''defblasius_ode(eta, F):
f1, f2, f3 = F
return [f2, f3, -0.5 * f1 * f3]
# shooting: guess f''(0) (f3(0)) and integrate to large eta until f2->1defshoot(fpp0):
sol = solve_ivp(blasius_ode, [0, 8.0], [0.0, 0.0, fpp0],
t_eval=np.linspace(0, 8.0, 1001), rtol=1e-8, atol=1e-10)
return sol
# find good initial f''(0) by simple shooting (bisection-ish)
a, b = 0.3, 0.5# bracket for f''(0)
sa = shoot(a).y[1, -1] - 1.0
sb = shoot(b).y[1, -1] - 1.0for _ inrange(30):
m = 0.5*(a+b)
sm = shoot(m).y[1, -1] - 1.0if sa*sm <= 0:
b, sb = m, sm
else:
a, sa = m, sm
fpp0 = 0.5*(a+b)
sol = shoot(fpp0)
eta = sol.t
fprime = sol.y[1]
# transformar eta -> y
y = eta * np.sqrt(nu * x / U)
# Construir malha y mais fina até 1.2*delta_turb para comparação
y_plot = np.linspace(0, 1.2*delta_turb, 400)
# interpolar f' para valores de y
u_over_U_lam = np.interp(y_plot, y, fprime, left=0.0, right=1.0)
# Perfil turbulento (1/7 law)
u_over_U_turb = np.empty_like(y_plot)
for i, yy inenumerate(y_plot):
if yy <= delta_turb:
u_over_U_turb[i] = (yy / delta_turb)**(1/7)
else:
u_over_U_turb[i] = 1.0# Plots
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(y_plot*1000, u_over_U_lam, label='Laminar (Blasius)', lw=2)
plt.plot(y_plot*1000, u_over_U_turb, label='Turbulento (lei 1/7)', lw=2, ls='--')
plt.axvline(delta_lam*1000, color='C0', ls=':', label=f'δ_99 lam = {delta_lam*1000:.2f} mm')
plt.axvline(delta_turb*1000, color='C1', ls=':', label=f'δ_turb = {delta_turb*1000:.2f} mm')
plt.xlabel('y (mm)')
plt.ylabel('u/U')
plt.title('Perfis de velocidade na camada limite em x = {:.2f} m (Re_x = {:g})'.format(x, Re_x))
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.ylim(-0.02, 1.05)
plt.show()
# Plot adimensionalizado por delta (opcional)
plt.figure(figsize=(8,6))
plt.plot(y_plot/delta_lam, u_over_U_lam, label='Laminar (Blasius) vs y/δ_lam', lw=2)
plt.plot(y_plot/delta_turb, u_over_U_turb, label='Turbulento (1/7) vs y/δ_turb', lw=2, ls='--')
plt.xlabel('y/δ')
plt.ylabel('u/U')
plt.title('Perfis normalizados por δ (comparação de forma)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.ylim(-0.02,1.05)
plt.show()
Explicação do código (passo a passo):
Integra-se a ODE de Blasius transformada em sistema de 1ª ordem.
Usa-se método de “shooting”: supõe-se um valor inicial para f''(0), integra-se até \eta=8 e verifica-se f'(\eta\to\infty)\to1. Ajusta-se f''(0) até que f'(\eta) tenda para 1 (bissecção simples no exemplo).
A solução f'(\eta) é interpolada para construir u/U vs y.
A lei de potência turbulenta é usada diretamente com \delta_{\text{turb}} calculada em
Passo 7
São gerados dois gráficos: u/U vs y em mm e u/U vs y/\delta (para comparar a forma).
Passo 8
Interpretação física e observações que aparecem no gráfico (como comparar na hora da prova).
O perfil laminar (Blasius) sobe de u=0 na parede até u\approx U em cerca de 7{,}5\\ \mathrm{mm}; é mais “estreito”.
O perfil turbulento (1/7) se estende até cerca de 35\\ \mathrm{mm}; a variação de u é mais suave perto do bordo externo, e a curva tem forma diferente (geralmente mais “plana” na região externa e com maior gradiente muito próximo à parede quando comparado com Blasius em termos adimensionalizados adequados).
Observação prática para a prova: se pedirem comparar “qual é mais cheio/próximo de U perto da parede” — comparamos em termos de y absoluto:
A camada turbulenta é mais espessa, então em uma dada distância absoluta y pequena (por exemplo y=2\\ \mathrm{mm}) pode-se obter diferentes razões u/U dependendo de qual perfil. Por isso é melhor comparar usando mesma escala (p.ex. y em mm) e notar as posições das duas espessuras.
Comparação pontual simples (exemplo explicativo — como fazer na prova):
Se quiser comparar os perfis no mesmo y absoluto, calcula-se u/U de cada perfil naquele y.
Se comparar em termos de fração do respectivo \delta (usar y/\delta), obtém-se a forma normalizada: aí o laminar atinge u/U\approx0{,}99 quando y/\delta_{lam}\approx1, enquanto a lei 1/7 atinge u/U=1 em y/\delta_{turb}=1. Para ver qual é “mais cheia” na região externa, observe u/U para valores elevados de y/\delta.
Passo 10
Dicas de apresentação na prova e verificação rápida:
Mostre os cálculos de x (a partir de \mathrm{Re}_x), mostre as fórmulas usadas para \delta_{99,\text{lam}} e \delta_{\text{turb}} e calcule numericamente (faça exatamente como nos passos).
Se pedirem o gráfico no papel: podes desenhar u/U vs y em mm, marcando as duas linhas verticais em y=\delta_{99,\text{lam}} e y=\delta_{\text{turb}}, e traçar qualitativamente:
Blasius: curva que sobe rápido e atinge quase 1 em y\sim 7{,}5\\ \mathrm{mm}.
Turbulento: lei 1/7: curva mais esticada em y que cruza u/U=1 em y\sim 35\\ \mathrm{mm}.
Se quiser uma visão mais rigorosa, rode o código do
Observação final: os perfis podem ser plotados numericamente integrando Blasius para o caso laminar e usando a lei de potência 1/7 para o caso turbulento; o código Python fornecido no passo 5 gera os gráficos comparativos.