Questão 7: Mostre que, para escoamento irrotacional, a equação de Bernoulli pode ser aplicada para determinar a relação entre velocidade e pressão em qualquer ponto do escoamento.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, quando o escoamento é irrotacional, a equação de Bernoulli pode ser aplicada para relacionar velocidade e pressão em qualquer ponto do escoamento.
Informações e hipóteses que vou usar (tudo explícito):
  • O escoamento é invíscido (sem viscosidade) — hipótese usual para derivar Euler/Bernoulli.
  • O escoamento é irrotacional, isto é, a vorticidade é nula: \nabla\times\mathbf{v}= \mathbf{0}.
  • Vou primeiro tratar o caso estacionário (isto é, as variáveis não dependem do tempo); depois comento rapidamente o caso não-estacionário.
  • Admito forças de corpo deriváveis por um potencial \Phi, ou seja, a força por unidade de massa pode ser escrita como \mathbf{f}=-\nabla\Phi. Para gravidade com eixo z para cima, \Phi= g z.
O que preciso obter: derivar a forma de Bernoulli que dá uma relação entre pressão p e velocidade \mathbf{v} que valha em qualquer ponto do domínio quando \nabla\times\mathbf{v}=\mathbf{0}.

Passo 2

Escrevendo a equação de Euler para um fluido invíscido (por unidade de volume), explicando termos:
\rho\!\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right) = -\nabla p + \rho\,\mathbf{f},
onde
  • \rho é a densidade do fluido (assumida constante se o fluido for incompressível);
  • \mathbf{v}(\mathbf{x},t) é o campo de velocidades;
  • p(\mathbf{x},t) é a pressão;
  • \mathbf{f} é a força por unidade de massa (por exemplo \mathbf{f}=-\nabla\Phi).
Interpretação curta: o termo à esquerda é a massa vezes a aceleração (derivada material da velocidade) e à direita estão o gradiente de pressão e as forças de corpo.

Passo 3

Agora especializo para escoamento estacionário (não dependente do tempo), isto é \partial\mathbf{v}/\partial t=\mathbf{0}. A equação fica
\rho\,(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = -\nabla p + \rho\,\mathbf{f}.
Vou transformar o termo convectivo (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} para uma forma que envolva um gradiente. Uso a identidade vetorial fundamental (que pode ser verificada componente a componente):
(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = \nabla\!\left(\tfrac{1}{2}|\mathbf{v}|^2\right) - \mathbf{v}\times(\nabla\times\mathbf{v}).
Breve explicação dessa identidade: o lado esquerdo dá acelerações convectivas; o primeiro termo do lado direito é o gradiente da energia cinética por unidade de massa \tfrac{1}{2}|\mathbf{v}|^2; o segundo termo envolve a vorticidade \nabla\times\mathbf{v} e descreve os efeitos rotacionais da velocidade.

Passo 4

Como o escoamento é irrotacional, vale \nabla\times\mathbf{v}=\mathbf{0}. Logo o termo de rotação desaparece e
(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v} = \nabla\!\left(\tfrac{1}{2}|\mathbf{v}|^2\right).
Substituindo esse resultado na equação de Euler estacionária:
\rho\,\nabla\!\left(\tfrac{1}{2}|\mathbf{v}|^2\right) = -\nabla p + \rho\,\mathbf{f}.
Agora uso a hipótese de forças de corpo deriváveis por potencial: \mathbf{f} = -\nabla\Phi. Assim:
\rho\,\nabla\!\left(\tfrac{1}{2}|\mathbf{v}|^2\right) = -\nabla p - \rho\,\nabla\Phi.

Passo 5

Agrupando os termos como um único gradiente:
\nabla\!\left(\tfrac{1}{2}\rho\,|\mathbf{v}|^2 + p + \rho\,\Phi\right) = \mathbf{0}.
Explicação: somando \nabla p e \rho\nabla(\tfrac{1}{2}|\mathbf{v}|^2)+\rho\nabla\Phi e levando tudo para um lado, obtemos que o gradiente daquele escalar é nulo.
Se o gradiente de uma função é nulo num domínio conectado, essa função é constante no domínio. Portanto existe uma constante B (constante espacial) tal que
\tfrac{1}{2}\rho\,|\mathbf{v}|^2 + p + \rho\,\Phi = B.
Dividindo por \rho (se desejarmos a forma por unidade de massa) obtemos a forma clássica de Bernoulli:
\tfrac{1}{2}|\mathbf{v}|^2 + \frac{p}{\rho} + \Phi = \text{const.}

Passo 6

Interpretação prática e uso para relacionar p e \mathbf{v}: a expressão acima dá, em qualquer ponto da região onde o fluxo é irrotacional (e as hipóteses valem), a relação direta entre pressão e velocidade. Por exemplo, escolhendo dois pontos 1 e 2 quaisquer do domínio, tem-se
\tfrac{1}{2}|\mathbf{v}_1|^2 + \frac{p_1}{\rho} + \Phi_1 = \tfrac{1}{2}|\mathbf{v}_2|^2 + \frac{p_2}{\rho} + \Phi_2.
Rearranjando, a diferença de pressão entre os pontos pode ser escrita como
p_2 - p_1 = \rho\!\left(\tfrac{1}{2}(|\mathbf{v}_1|^2 - |\mathbf{v}_2|^2) + (\Phi_1-\Phi_2)\right).
Isso mostra explicitamente como a velocidade em um ponto determina a pressão naquele ponto (conhecendo a constante B ou o valor em um ponto de referência).

Passo 7

Observações finais importantes (limitações e comentários intuitivos):
  • A conclusão “Bernoulli vale em qualquer ponto” depende das hipóteses: invíscido, forças de corpo potenciais e escoamento irrotacional. Se houver vorticidade, a forma constante espacial só vale ao longo de cada linha de corrente (Bernoulli ao longo de uma streamline), não necessariamente em todo o domínio.
  • Se o escoamento for não-estacionário mas irrotacional, existe uma forma generalizada usando um potencial de velocidade \varphi com uma função de tempo: \partial\varphi/\partial t + \tfrac{1}{2}|\nabla\varphi|^2 + p/\rho + \Phi = f(t). Nesse caso a igualdade é espacialmente válida (mesmo em presença de tempo), mas a constante pode depender do tempo — isto requer tratar a derivada temporal na Euler sem anular \partial\mathbf{v}/\partial t.
  • Intuição física: em escoamento irrotacional não há “giro” local que possa causar diferenças de energia entre trajetórias vizinhas; por isso a soma da energia cinética por unidade de massa, da energia potencial das forças de corpo e da energia de pressão fica homogênea no espaço.

Resposta

\tfrac{1}{2}|\mathbf{v}|^2+\frac{p}{\rho}+\Phi=\text{const.}

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