Questão 7: Mostre que, para escoamento irrotacional, a equação de Bernoulli pode ser aplicada para determinar a relação entre velocidade e pressão em qualquer ponto do escoamento.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, quando o escoamento é irrotacional, a equação de Bernoulli pode ser aplicada para relacionar velocidade e pressão em qualquer ponto do escoamento.
Informações e hipóteses que vou usar (tudo explícito):
Informações e hipóteses que vou usar (tudo explícito):
- O escoamento é invíscido (sem viscosidade) — hipótese usual para derivar Euler/Bernoulli.
- O escoamento é irrotacional, isto é, a vorticidade é nula:
. - Vou primeiro tratar o caso estacionário (isto é, as variáveis não dependem do tempo); depois comento rapidamente o caso não-estacionário.
- Admito forças de corpo deriváveis por um potencial
, ou seja, a força por unidade de massa pode ser escrita como . Para gravidade com eixo para cima, .
O que preciso obter: derivar a forma de Bernoulli que dá uma relação entre pressão
e velocidade
que valha em qualquer ponto do domínio quando
.
Passo 2
Escrevendo a equação de Euler para um fluido invíscido (por unidade de volume), explicando termos:
onde
-
é a densidade do fluido (assumida constante se o fluido for incompressível); -
é o campo de velocidades; -
é a pressão; -
é a força por unidade de massa (por exemplo ).
Interpretação curta: o termo à esquerda é a massa vezes a aceleração (derivada material da velocidade) e à direita estão o gradiente de pressão e as forças de corpo.
Passo 3
Agora especializo para escoamento estacionário (não dependente do tempo), isto é
. A equação fica
Vou transformar o termo convectivo
para uma forma que envolva um gradiente. Uso a identidade vetorial fundamental (que pode ser verificada componente a componente):
Breve explicação dessa identidade: o lado esquerdo dá acelerações convectivas; o primeiro termo do lado direito é o gradiente da energia cinética por unidade de massa
; o segundo termo envolve a vorticidade
e descreve os efeitos rotacionais da velocidade.
Passo 4
Como o escoamento é irrotacional, vale
. Logo o termo de rotação desaparece e
Substituindo esse resultado na equação de Euler estacionária:
Agora uso a hipótese de forças de corpo deriváveis por potencial:
. Assim:
Passo 5
Agrupando os termos como um único gradiente:
Explicação: somando
e
e levando tudo para um lado, obtemos que o gradiente daquele escalar é nulo.
Se o gradiente de uma função é nulo num domínio conectado, essa função é constante no domínio. Portanto existe uma constante
(constante espacial) tal que
Dividindo por
(se desejarmos a forma por unidade de massa) obtemos a forma clássica de Bernoulli:
Passo 6
Interpretação prática e uso para relacionar
e
: a expressão acima dá, em qualquer ponto da região onde o fluxo é irrotacional (e as hipóteses valem), a relação direta entre pressão e velocidade. Por exemplo, escolhendo dois pontos
e
quaisquer do domínio, tem-se
Rearranjando, a diferença de pressão entre os pontos pode ser escrita como
Isso mostra explicitamente como a velocidade em um ponto determina a pressão naquele ponto (conhecendo a constante
ou o valor em um ponto de referência).
Passo 7
Observações finais importantes (limitações e comentários intuitivos):
- A conclusão “Bernoulli vale em qualquer ponto” depende das hipóteses: invíscido, forças de corpo potenciais e escoamento irrotacional. Se houver vorticidade, a forma constante espacial só vale ao longo de cada linha de corrente (Bernoulli ao longo de uma streamline), não necessariamente em todo o domínio.
- Se o escoamento for não-estacionário mas irrotacional, existe uma forma generalizada usando um potencial de velocidade
com uma função de tempo: . Nesse caso a igualdade é espacialmente válida (mesmo em presença de tempo), mas a constante pode depender do tempo — isto requer tratar a derivada temporal na Euler sem anular . - Intuição física: em escoamento irrotacional não há “giro” local que possa causar diferenças de energia entre trajetórias vizinhas; por isso a soma da energia cinética por unidade de massa, da energia potencial das forças de corpo e da energia de pressão fica homogênea no espaço.