(Questão 177) O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento,
de probabilidade de acertar um dardo no alvo. A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a
. Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada. Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é
a) 2
b) 4
c) 6
d) 9
e) 10
a) 2
b) 4
c) 6
d) 9
e) 10
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- Informação: em cada lançamento a probabilidade de acertar o alvo é
. - Informação: numa rodada o jogador lança
dardos (atualmente ) e pontua se acertar pelo menos um dardo. - Objetivo pedido: escolher
(quantidade de dardos por rodada) de modo que a probabilidade de pontuar numa rodada seja maior ou igual a . - Opções oferecidas: a)
\n b) \n c) \n d) \n e) .
Passo 2
Entendendo o que significa “acertar pelo menos um” e como calcular essa probabilidade. É mais simples usar a ideia do evento complemento:
- Definição útil: o evento “acertar pelo menos um dardo em
lançamentos” é o complemento do evento “não acertar nenhum dardo em lançamentos”. - Se cada lançamento tem probabilidade
de acerto e os lançamentos são independentes, então a probabilidade de errar um lançamento é . - Portanto, a probabilidade de errar todos os
lançamentos é . - Usando o complemento: a probabilidade de acertar pelo menos um é
Expliquei aqui o porquê dessa fórmula: multiplicamos probabilidades de erros por independência para obter “nenhum acerto”, e subtraímos de 1 para obter “pelo menos um acerto”.
Passo 3
Verificação rápida para a regra atual (
) só para ver onde estamos:
Isso confirma que com
dardos a chance é
, que é menor que
(ou seja, menor que
). Precisamos aumentar
.
Passo 4
Agora formulamos a condição que queremos impor e resolvemos para
:
Passo a passo algebricamente:
Expliquei cada transformação: subtraímos ambos os lados de 1 (invertendo o sinal do termo), depois invertemos potência negativa para passar a ter
do outro lado.
Passo 5
Resolver
procurando o menor inteiro
que satisfaça:
-
. -
.
Portanto o menor inteiro
que atende à desigualdade é
. Isso significa que com
dardos a probabilidade é pelo menos
.
Passo 6
Checagem numérica final para ficar tranquilo:
que é maior que
. Com
já vimos que dá
(menor que
). Logo
é a menor quantidade que garante a meta desejada.
Resposta
b)