(Questão 177) O organizador de uma competição de lançamento de dardos pretende tornar o campeonato mais competitivo. Pelas regras atuais da competição, numa rodada, o jogador lança 3 dardos e pontua caso acerte pelo menos um deles no alvo. O organizador considera que, em média, os jogadores têm, em cada lançamento, \frac{1}{2} de probabilidade de acertar um dardo no alvo. A fim de tornar o jogo mais atrativo, planeja modificar as regras de modo que a probabilidade de um jogador pontuar em uma rodada seja igual ou superior a \frac{9}{10}. Para isso, decide aumentar a quantidade de dardos a serem lançados em cada rodada. Com base nos valores considerados pelo organizador da competição, a quantidade de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para tornar o jogo mais atrativo é
a) 2
b) 4
c) 6
d) 9
e) 10

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Informação: em cada lançamento a probabilidade de acertar o alvo é \frac{1}{2}.
  • Informação: numa rodada o jogador lança n dardos (atualmente n=3) e pontua se acertar pelo menos um dardo.
  • Objetivo pedido: escolher n (quantidade de dardos por rodada) de modo que a probabilidade de pontuar numa rodada seja maior ou igual a \frac{9}{10}.
  • Opções oferecidas: a) 2 \n b) 4 \n c) 6 \n d) 9 \n e) 10.

Passo 2

Entendendo o que significa “acertar pelo menos um” e como calcular essa probabilidade. É mais simples usar a ideia do evento complemento:
  • Definição útil: o evento “acertar pelo menos um dardo em n lançamentos” é o complemento do evento “não acertar nenhum dardo em n lançamentos”.
  • Se cada lançamento tem probabilidade \frac{1}{2} de acerto e os lançamentos são independentes, então a probabilidade de errar um lançamento é 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
  • Portanto, a probabilidade de errar todos os n lançamentos é \left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
  • Usando o complemento: a probabilidade de acertar pelo menos um é
1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
Expliquei aqui o porquê dessa fórmula: multiplicamos probabilidades de erros por independência para obter “nenhum acerto”, e subtraímos de 1 para obter “pelo menos um acerto”.

Passo 3

Verificação rápida para a regra atual ( n=3) só para ver onde estamos:
\text{Probabilidade com } n=3 = 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 1-\frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0{,}875.
Isso confirma que com 3 dardos a chance é 0{,}875, que é menor que 0{,}9 (ou seja, menor que \frac{9}{10}). Precisamos aumentar n.

Passo 4

Agora formulamos a condição que queremos impor e resolvemos para n:
1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \ge \frac{9}{10}.
Passo a passo algebricamente:
1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n} \ge \frac{9}{10}
\Longleftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^{n} \le 1-\frac{9}{10} = \frac{1}{10}
\Longleftrightarrow 2^{-n} \le \frac{1}{10}
\Longleftrightarrow 2^{n} \ge 10.
Expliquei cada transformação: subtraímos ambos os lados de 1 (invertendo o sinal do termo), depois invertemos potência negativa para passar a ter 2^{n} do outro lado.

Passo 5

Resolver 2^{n} \ge 10 procurando o menor inteiro n que satisfaça:
  • 2^{3} = 8 < 10.
  • 2^{4} = 16 \ge 10.
Portanto o menor inteiro n que atende à desigualdade é n=4. Isso significa que com 4 dardos a probabilidade é pelo menos \frac{9}{10}.

Passo 6

Checagem numérica final para ficar tranquilo:
\text{Probabilidade com } n=4 = 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{4} = 1-\frac{1}{16} = \frac{15}{16} = 0{,}9375,
que é maior que 0{,}9. Com n=3 já vimos que dá 0{,}875 (menor que 0{,}9). Logo n=4 é a menor quantidade que garante a meta desejada.

Resposta

b) 4

Exercícios relacionados