(Questão 175) Uma grande rede de supermercados adota um sistema de avaliação dos faturamentos de suas filiais, considerando a média de faturamento mensal em milhão. A matriz da rede paga uma comissão para os representantes dos supermercados que atingirem uma média de faturamento mensal (M), conforme apresentado no quadro.
Comissão Média de faturamento mensal (M)
I 1 \leq M<2
II 2 \leq M<4
III 4 \leq M<5
IV 5 \leq M<6
V M \geq 6
Um supermercado da rede obteve os faturamentos num dado ano, conforme apresentado no quadro.
Faturamento mensal
(em milhão de real)
Quantidade de meses
3,5 3
2,5 2
5 2
3 4
7,5 1
Nas condições apresentadas, os representantes desse supermercado avaliam que receberão, no ano seguinte, a comissão de tipo
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine qual o tipo de comissão que os representantes deste supermercado receberão no ano seguinte, com base na média de faturamento mensal M (em milhão). Vou listar os dados que o enunciado deu (peguei os valores nas tabelas do enunciado):
Comissões (intervalos de M):
\text{I: }1 \le M < 2
\text{II: }2 \le M < 4
\text{III: }4 \le M < 5
\text{IV: }5 \le M < 6
\text{V: }M \ge 6
Faturamentos e quantidades de meses (peguei esses dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{ll} x_1 = 3,5 & f_1 = 3\\[4pt] x_2 = 2,5 & f_2 = 2\\[4pt] x_3 = 5,0 & f_3 = 2\\[4pt] x_4 = 3,0 & f_4 = 4\\[4pt] x_5 = 7,5 & f_5 = 1 \end{array}
A pergunta concreta: para qual dessas comissões (I, II, III, IV ou V) o valor da média \,M, deste supermercado corresponde?]

Passo 2

Método que vamos usar: calcular a média aritmética ponderada (média por frequências) dos faturamentos mensais. Explico a fórmula e o que cada símbolo significa:
Se x_i é o valor do faturamento no caso i e f_i é a quantidade de meses em que apareceu x_i, então a média mensal \bar{M} é
\bar{M}=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{\sum_{i} f_i}.
Aqui:
  • f_i x_i é a contribuição total daquele valor ao faturamento anual;
  • \sum_{i} f_i x_i soma todas essas contribuições (é o faturamento total no ano, em milhões);
  • \sum_{i} f_i é o número total de meses observados (deve ser 12 para um ano completo).
Vou aplicar essa fórmula com os dados listados no Passo 1.

Passo 3

Calculo do denominador (total de meses):
\sum_i f_i = 3 + 2 + 2 + 4 + 1 = 12.
Ou seja, temos os 12 meses do ano contabilizados — ótimo, coerente.

Passo 4

Calculo do numerador (faturamento total no ano): vou calcular cada contribuição f_i x_i e somar.
\begin{aligned} f_1 x_1 &= 3 \cdot 3,5 = 10,5,\\[4pt] f_2 x_2 &= 2 \cdot 2,5 = 5,0,\\[4pt] f_3 x_3 &= 2 \cdot 5,0 = 10,0,\\[4pt] f_4 x_4 &= 4 \cdot 3,0 = 12,0,\\[4pt] f_5 x_5 &= 1 \cdot 7,5 = 7,5. \end{aligned}
Somando todas as contribuições:
\sum_i f_i x_i = 10,5 + 5,0 + 10,0 + 12,0 + 7,5 = 45,0.
Portanto o faturamento total anual (em milhões) é \,45,0.]

Passo 5

Agora a média mensal \bar{M} é
\bar{M}=\frac{\sum_i f_i x_i}{\sum_i f_i}=\frac{45,0}{12}=3,75.
Interpretação: a média de faturamento mensal do supermercado é \,3,75 milhões.

Passo 6

Comparo \bar{M}=3,75 com os intervalos das comissões:
2 \le M < 4
é exatamente o intervalo da comissão II. Como 3,75 satisfaz 2 \le 3,75 < 4, o supermercado enquadra-se na comissão do tipo II.
Força aí — você já sabe como fazer isso rápido na prova: calcule a média ponderada usando a fórmula do Passo 2, some as contribuições e compare com os intervalos.

Resposta

b) II.

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