Questão 18. Dados os vetores \vec{u}=\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}, \vec{v}=\vec{i}-3 \vec{j}+2 \vec{k} e \vec{w}=\vec{i}+\vec{j}+2 \vec{k} :
Encontre [\,\vec{u}, \vec{u}, \vec{w}]

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}, \vec{v}=\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k} e \vec{w}=\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}, e pede o produto misto [\vec{u},\vec{u},\vec{w}]. Vamos usar a definição de produto misto:
[\vec{a},\vec{b},\vec{c}] = (\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}.

Passo 2

Pela propriedade antissimétrica do produto vetorial, um vetor cruz consigo mesmo é o vetor nulo, ou seja,
\vec{u}\times \vec{u} = \vec{0}.

Passo 3

Substituindo na definição do produto misto, temos
[\vec{u},\vec{u},\vec{w}] = (\vec{u}\times \vec{u})\cdot \vec{w} = \vec{0}\cdot \vec{w} = 0.

Resposta

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