Questão 17. Dados os vetores \vec{u}=\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}, \vec{v}=\vec{i}-3 \vec{j}+2 \vec{k} e \vec{w}=\vec{i}+\vec{j}+2 \vec{k} :
Encontre [\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] .

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}, \vec{v}=\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k} e \vec{w}=\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k},
e pede o produto misto [\vec{v},\vec{w},\vec{u}]=\vec{v}\cdot(\vec{w}\times\vec{u}). Vamos usar a propriedade de que isso é igual ao determinante 3\times 3 cujas linhas são as componentes de \vec{v},\vec{w},\vec{u}.

Passo 2

Anotando as componentes dos vetores como tuplas em \mathbb{R}^3, temos \vec{v}=(1,-3,2), \vec{w}=(1,1,2) e \vec{u}=(1,-1,-1).

Passo 3

Formamos a matriz
M = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 2\\\\ 1 & 1 & 2\\\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}
e calculamos
[\vec{v},\vec{w},\vec{u}] = \det(M).

Passo 4

Expandindo pela primeira linha:
\det(M) =1\cdot\begin{vmatrix}1 & 2\\\ -1 & -1\end{vmatrix} -(-3)\cdot\begin{vmatrix}1 & 2\\\ 1 & -1\end{vmatrix} +2\cdot\begin{vmatrix}1 & 1\\\ 1 & -1\end{vmatrix}.
Agora, cada menor vale
\begin{vmatrix}1 & 2\\\ -1 & -1\end{vmatrix} =1\cdot(-1)-2\cdot(-1)=1, \quad \begin{vmatrix}1 & 2\\\ 1 & -1\end{vmatrix} =1\cdot(-1)-2\cdot1=-3,
\begin{vmatrix}1 & 1\\\ 1 & -1\end{vmatrix} =1\cdot(-1)-1\cdot1=-2.
Substituindo:
\det(M)=1\cdot1 -(-3)\cdot(-3) +2\cdot(-2) =1 -9 -4 =-12.

Resposta

-12

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