Questão 17. Dados os vetores \vec{u}=\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}, \vec{v}=\vec{i}-3 \vec{j}+2 \vec{k} e \vec{w}=\vec{i}+\vec{j}+2 \vec{k} :
Encontre [\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}] .

Passo 1

O enunciado fornece \vec{u}=\vec{i}-\vec{j}-\vec{k}, \vec{v}=\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k} e \vec{w}=\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}.
Queremos o produto misto [\vec{v},\vec{u},\vec{w}]=\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}).
Para isso, vamos extrair as componentes numéricas de cada vetor, calcular o produto vetorial \vec{u}\times\vec{w} e em seguida o produto escalar com \vec{v}.

Passo 2

Convertendo em componentes: \vec{u}=(1,-1,-1) e \vec{w}=(1,1,2).
Lembrando que, para (a_1,a_2,a_3)\times(b_1,b_2,b_3), temos
(a_2b_3 - a_3b_2,\;a_3b_1 - a_1b_3,\;a_1b_2 - a_2b_1).

Passo 3

Aplicando em \vec{u}\times\vec{w}:
\vec{u}\times\vec{w} =\bigl((-1)\cdot2 - (-1)\cdot1,\;(-1)\cdot1 - 1\cdot2,\;1\cdot1 - (-1)\cdot1\bigr).
Calculando cada coordenada:
primeira: -2+1=-1,
segunda: -1-2=-3,
terceira: 1+1=2.
Logo
\vec{u}\times\vec{w}=(-1,-3,2).

Passo 4

Agora \vec{v}=(1,-3,2). O produto escalar é
\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}) =1\cdot(-1)+(-3)\cdot(-3)+2\cdot2 =-1+9+4=12.

Resposta

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