Questão 18
EPIDEMIOLOGIA. A fração P de pessoas suscetíveis que são infectadas t semanas após o início de uma epidemia é dada pela integral
P(t)=\int_{0}^{t} C\left(e^{-a x}-e^{-b x}\right) d x
em que a e b são parâmetros que dependem da doença e C é uma constante. Supondo que todas as pessoas suscetíveis ficam doentes mais cedo ou mais tarde, determine o valor de C em termos de a e b. Observação: Queremos encontrar C, de modo que P_{\infty}=1\left(P_{\infty}=\lim _{t \rightarrow+\infty} P(t)\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a fração de pessoas suscetíveis infectadas até a semana t pela fórmula
P(t)=\int_{0}^{t} C\left(e^{-a x}-e^{-b x}\right)\,dx,
onde a e b são parâmetros (dependentes da doença) e C é uma constante. A condição extra é que todas as pessoas suscetíveis ficam doentes mais cedo ou mais tarde, isto é, queremos que
P_{\infty}=\lim_{t\to+\infty}P(t)=1.
O que o problema pede: determinar C em termos de a e b de modo que a condição acima seja satisfeita.
Informações relevantes que o enunciado dá e que vou usar:
  • A expressão explícita de P(t) como integral definida de 0 até t.
  • A condição de limite P_{\infty}=1.
  • Para que os limites envolvidos façam sentido ao levar t\to\infty, assumimos que a>0 e b>0. Também é necessário que a\neq b (caso a=b a integranda se anula e o problema fica degenerado).

Passo 2

Vamos aprender a integrar as funções exponenciais que aparecem. Regra básica: para uma constante k\neq0,
\int e^{kx}\,dx=\frac{1}{k}e^{kx}+C_0,
porque a derivada de \frac{1}{k}e^{kx} é e^{kx}. Aplicando isso ao caso k=-\ell (ou seja, integraremos e^{-\ell x}), obtemos
\int e^{-\ell x}\,dx=-\frac{1}{\ell}e^{-\ell x}+C_0,
pois a derivada de -\frac{1}{\ell}e^{-\ell x} é e^{-\ell x}. Aqui \ell é uma constante (no nosso problema \ell será a ou b). É importante entender que essa fórmula vale sempre que \ell\neq0.

Passo 3

Apliquei a fórmula do passo anterior à integranda C(e^{-a x}-e^{-b x}). Primeiro, a constante C sai da integral:
P(t)=C\int_{0}^{t}\left(e^{-a x}-e^{-b x}\right)\,dx.
Agora integro termo a termo, usando \int e^{-a x}\,dx=-\dfrac{1}{a}e^{-a x} e \int e^{-b x}\,dx=-\dfrac{1}{b}e^{-b x}. Logo uma primitiva é
\int\left(e^{-a x}-e^{-b x}\right)\,dx=-\frac{1}{a}e^{-a x}+\frac{1}{b}e^{-b x}+C_0.

Passo 4

Agora avalio a integral definida de 0 até t. Substituindo os limites na primitiva e multiplicando por C, obtemos
P(t)=C\left[\left(-\frac{1}{a}e^{-a x}+\frac{1}{b}e^{-b x}\right)\Bigg|_{x=0}^{x=t}\right].
Calculando os valores em x=t e x=0:
P(t)=C\left(-\frac{1}{a}e^{-a t}+\frac{1}{b}e^{-b t} -\left(-\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right).
Simplificando os sinais:
P(t)=C\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b} -\frac{1}{a}e^{-a t}+\frac{1}{b}e^{-b t}\right).

Passo 5

Agora vamos tomar o limite quando t\to+\infty. Como assumimos a>0 e b>0, tem-se e^{-a t}\to0 e e^{-b t}\to0 quando t\to+\infty. Portanto os termos exponenciais desaparecem no limite e ficamos com
P_{\infty}=\lim_{t\to\infty}P(t)=C\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Esse é um passo padrão: mostrar que termos do tipo e^{-\text{const}\cdot t} vão a zero se a constante for positiva.

Passo 6

Impondo a condição do enunciado P_{\infty}=1, igualamos e resolvemos para C:
1=C\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).
Isolando C,
C=\frac{1}{\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}}.
Para simplificar a fração do denominador, coloque em comum denominador:
\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}.
Assim
C=\frac{1}{\dfrac{b-a}{ab}}=\frac{ab}{b-a}.
Observações finais rápidas (úteis na prova): se a=b a diferença no denominador é zero e não existe C finito que satisfaça a condição; se você quiser C>0 (mais razoável epidemiologicamente), então é necessário b>a para que b-a>0 e portanto C=\dfrac{ab}{b-a}>0.

Resposta

\displaystyle C=\frac{ab}{\,b-a\,}

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