Questão 20
Observação: Para encontrar o Valor Atual de um investimento usamos V A=\int_{0}^{T} f(t) e^{-r t} d t, onde f(t) é o fluxo de renda gerado (ou aplicado) continuamente a uma taxa anual r de juros capitalizados continuamente por um termo de T anos.
VALOR ATUAL DE UM INVESTIMENTO. Um investimento é capaz de gerar 13000+1200 e^{-0,5 t} reais ao ano por um prazo indeterminado. Se o dinheiro é aplicado continuamente e a taxa de juros permanece fixa em 6 \% ao ano capitalizados continuamente, qual é o Valor Atual do investimento?

Passo 1

O enunciado pede o Valor Atual (presente) de um fluxo de renda contínuo gerado por um investimento por prazo indeterminado. Dados fornecidos:
  • O fluxo de renda é f(t)=13000+1200\,e^{-0,5t} reais por ano, para t\ge 0.
  • A taxa de juros é 6\% ao ano capitalizada continuamente, ou seja r=0,06.
  • “Prazo indeterminado” significa que devemos tomar o horizonte temporal T\to\infty.
    A pergunta: calcular o Valor Atual do investimento usando a fórmula indicada.

Passo 2

Relembrando a fórmula e a ideia por trás dela (mini-aula): quando recebemos um fluxo contínuo f(t) de receitas por unidade de tempo e descontamos (trazemos para o presente) a uma taxa contínua r, o Valor Atual num horizonte T é
VA=\int_{0}^{T} f(t)\,e^{-r t}\,dt.
Aqui f(t) é a taxa de recebimento no instante t (reais por ano), e^{-r t} é o fator de desconto contínuo que transforma um real recebido em t anos no seu equivalente em valor presente, e a integral soma (acumula) todas as contribuições contínuas ao longo do tempo. Como T\to\infty no nosso caso, usaremos
VA=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-r t}\,dt,
desde que a integral convirja (isto ocorre aqui porque r>0 e f(t) não cresce exponencialmente).

Passo 3

Substituímos f(t) e r na integral:
VA=\int_{0}^{\infty} \bigl(13000+1200\,e^{-0,5t}\bigr)\,e^{-0,06t}\,dt.
Explico o que fiz: multipliquei o fluxo pelo fator de desconto e^{-0,06t}. Agora simplificamos a expressão dentro da integral.

Passo 4

Distribuindo o fator e^{-0,06t} obtemos duas parcelas que podemos integrar separadamente:
VA=\int_{0}^{\infty}13000\,e^{-0,06t}\,dt \;+\; \int_{0}^{\infty}1200\,e^{-(0,5+0,06)t}\,dt.
Notei que e^{-0,5t}\cdot e^{-0,06t}=e^{-(0,5+0,06)t}=e^{-0,56t}. Assim,
VA=\int_{0}^{\infty}13000\,e^{-0,06t}\,dt + \int_{0}^{\infty}1200\,e^{-0,56t}\,dt.

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral. Mini-aula de cálculo: para qualquer constante a>0,
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt = \left[-\frac{1}{a}e^{-a t}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{a},
porque e^{-a t}\to 0 quando t\to\infty. Aplicando isso,
\int_{0}^{\infty}13000\,e^{-0,06t}\,dt = 13000\cdot\frac{1}{0,06}.
Agora faço a conta com cuidado sem usar calculadora: \dfrac{1}{0,06}=\dfrac{100}{6}=\dfrac{50}{3}. Portanto
13000\cdot\frac{1}{0,06}=13000\cdot\frac{50}{3}=\frac{650000}{3}.

Passo 6

Agora a segunda integral, usando o mesmo raciocínio com a=0,56:
\int_{0}^{\infty}1200\,e^{-0,56t}\,dt = 1200\cdot\frac{1}{0,56}.
Faço a simplificação: \dfrac{1}{0,56}=\dfrac{100}{56}=\dfrac{25}{14}. Então
1200\cdot\frac{1}{0,56}=1200\cdot\frac{25}{14}.
Podemos simplificar 1200/14=600/7, então 1200\cdot\frac{25}{14}=\frac{600}{7}\cdot 25=\frac{15000}{7}.

Passo 7

Somando as duas parcelas obtidas:
VA=\frac{650000}{3}+\frac{15000}{7}.
Colocamos em denominador comum 21 para somar:
\frac{650000}{3}=\frac{650000\cdot 7}{21}=\frac{4550000}{21}, \qquad \frac{15000}{7}=\frac{15000\cdot 3}{21}=\frac{45000}{21}.
Somando:
VA=\frac{4550000+45000}{21}=\frac{4595000}{21}.

Passo 8

Podemos apresentar o resultado exato e uma aproximação numérica (arredondando para centavos). Dividindo:
\frac{4595000}{21}\approx 218809{,}5238.
Arredondando para dois centavos (cents) dá 218809{,}52 reais. Um lembrete amigo: neste tipo de conta é boa prática apresentar tanto a forma exata quanto o valor arredondado em reais.

Resposta

\text{Valor Atual}=\dfrac{4595000}{21}\\ \text{reais}\approx 218\,809{,}52\\ \text{reais}

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