Questão 20
Observação: Para encontrar o Valor Atual de um investimento usamos
, onde
é o fluxo de renda gerado (ou aplicado) continuamente a uma taxa anual
de juros capitalizados continuamente por um termo de
anos.
VALOR ATUAL DE UM INVESTIMENTO. Um investimento é capaz de gerar
reais ao ano por um prazo indeterminado. Se o dinheiro é aplicado continuamente e a taxa de juros permanece fixa em
ao ano capitalizados continuamente, qual é o Valor Atual do investimento?
VALOR ATUAL DE UM INVESTIMENTO. Um investimento é capaz de gerar
Passo 1
O enunciado pede o Valor Atual (presente) de um fluxo de renda contínuo gerado por um investimento por prazo indeterminado. Dados fornecidos:
- O fluxo de renda é
reais por ano, para . - A taxa de juros é
ao ano capitalizada continuamente, ou seja . - “Prazo indeterminado” significa que devemos tomar o horizonte temporal
.
A pergunta: calcular o Valor Atual do investimento usando a fórmula indicada.
Passo 2
Relembrando a fórmula e a ideia por trás dela (mini-aula): quando recebemos um fluxo contínuo
de receitas por unidade de tempo e descontamos (trazemos para o presente) a uma taxa contínua
, o Valor Atual num horizonte
é
Aqui
é a taxa de recebimento no instante
(reais por ano),
é o fator de desconto contínuo que transforma um real recebido em
anos no seu equivalente em valor presente, e a integral soma (acumula) todas as contribuições contínuas ao longo do tempo. Como
no nosso caso, usaremos
desde que a integral convirja (isto ocorre aqui porque
e
não cresce exponencialmente).
Passo 3
Substituímos
e
na integral:
Explico o que fiz: multipliquei o fluxo pelo fator de desconto
. Agora simplificamos a expressão dentro da integral.
Passo 4
Distribuindo o fator
obtemos duas parcelas que podemos integrar separadamente:
Notei que
. Assim,
Passo 5
Vamos calcular a primeira integral. Mini-aula de cálculo: para qualquer constante
,
porque
quando
. Aplicando isso,
Agora faço a conta com cuidado sem usar calculadora:
. Portanto
Passo 6
Agora a segunda integral, usando o mesmo raciocínio com
:
Faço a simplificação:
. Então
Podemos simplificar
, então
Passo 7
Somando as duas parcelas obtidas:
Colocamos em denominador comum
para somar:
Somando:
Passo 8
Podemos apresentar o resultado exato e uma aproximação numérica (arredondando para centavos). Dividindo:
Arredondando para dois centavos (cents) dá
reais. Um lembrete amigo: neste tipo de conta é boa prática apresentar tanto a forma exata quanto o valor arredondado em reais.