POLUIÇÃO DO MEIO AMBIENTE: O custo C (em centenas de milhares de dólares) para uma empresa remover
de um produto químico da água de descarte é mostrado na tabela:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0
0,7
1,0
1,3
1,7
2,0
2,7
3,6
5,5
11,2
A partir desses dados, um grupo de pesquisadores (dois biólogos e um matemático) conseguiu explicitar um modelo matemático algébrico, (
), dado por
De posse desse modelo e utilizando os conhecimentos estudados sobre integral e integração por frações parciais, calcule o custo médio (contínuo) para remover de
a
do produto químico.
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0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 |
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0 | 0,7 | 1,0 | 1,3 | 1,7 | 2,0 | 2,7 | 3,6 | 5,5 | 11,2 |
Passo 1
O enunciado dá o custo como função do percentual removido
(com
) pelas tabelas e, mais importante, pelo modelo algébrico
onde
está em centenas de milhares de dólares. A pergunta pede o custo médio contínuo para remover de
a
, isto é, o valor médio de
no intervalo
. As informações relevantes são:
Passo 2
Lembrete (fórmula que vamos usar): o valor médio de uma função contínua
num intervalo
é
Aqui
é a função custo
,
,
. Essa fórmula significa: somamos todos os valores de
no intervalo (fazendo a integral) e dividimos pelo comprimento do intervalo para obter a média.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
Agora precisamos calcular a integral definida
.
Passo 4
Para integrar a função racional usaremos frações parciais. Observamos que o numerador tem grau menor que o denominador (grau 1 vs grau 2), então podemos escrever
onde
e
são constantes a determinar. A ideia é transformar a fração numa soma de termos simples cujo antiderivado é um logaritmo.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
Expandindo:
Comparando coeficientes (constante e coeficiente de
):
Da segunda equação
. Substituindo na primeira:
Então
Passo 6
Portanto a decomposição é
Agora integramos termo a termo. Sabendo que
temos uma primitiva
Mais directamente, escrevemos
Passo 7
Agora avaliamos a integral definida:
Agrupando logaritmos em razão:
Note que
e
. Fatorando
:
Reescrevendo com sinais convenientes:
Passo 8
O custo médio é
vezes essa integral, logo
Agora avaliando numericamente (usando logaritmo natural) obtemos
Isto significa aproximadamente
.