POLUIÇÃO DO MEIO AMBIENTE: O custo C (em centenas de milhares de dólares) para uma empresa remover p \% de um produto químico da água de descarte é mostrado na tabela:
p 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
C 0 0,7 1,0 1,3 1,7 2,0 2,7 3,6 5,5 11,2
A partir desses dados, um grupo de pesquisadores (dois biólogos e um matemático) conseguiu explicitar um modelo matemático algébrico, ( 0 \leq p \leq 100 ), dado por
C(p)=\frac{124 p}{(10+p)(100-p)}
De posse desse modelo e utilizando os conhecimentos estudados sobre integral e integração por frações parciais, calcule o custo médio (contínuo) para remover de 75 \% a 80 \% do produto químico.
C_{m}=

Passo 1

O enunciado dá o custo como função do percentual removido p (com 0\le p\le100) pelas tabelas e, mais importante, pelo modelo algébrico
C(p)=\frac{124\,p}{(10+p)(100-p)},
onde C está em centenas de milhares de dólares. A pergunta pede o custo médio contínuo para remover de 75\% a 80\%, isto é, o valor médio de C(p) no intervalo [75,80]. As informações relevantes são:
\text{função }C(p)=\frac{124\,p}{(10+p)(100-p)},\qquad \text{intervalo }[75,80].çã

Passo 2

Lembrete (fórmula que vamos usar): o valor médio de uma função contínua f num intervalo [a,b] é
\bar f=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.
Aqui f é a função custo C(p), a=75, b=80. Essa fórmula significa: somamos todos os valores de f no intervalo (fazendo a integral) e dividimos pelo comprimento do intervalo para obter a média.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
C_m=\frac{1}{80-75}\int_{75}^{80}C(p)\,dp=\frac{1}{5}\int_{75}^{80}\frac{124\,p}{(p+10)(100-p)}\,dp.
Agora precisamos calcular a integral definida \displaystyle\int_{75}^{80}\frac{124\,p}{(p+10)(100-p)}\,dp.

Passo 4

Para integrar a função racional usaremos frações parciais. Observamos que o numerador tem grau menor que o denominador (grau 1 vs grau 2), então podemos escrever
\frac{124\,p}{(p+10)(100-p)}=\frac{A}{p+10}+\frac{B}{100-p},
onde A e B são constantes a determinar. A ideia é transformar a fração numa soma de termos simples cujo antiderivado é um logaritmo.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por (p+10)(100-p)\) obtemos \[124\,p = A(100-p) + B(p+10).
Expandindo:
124\,p = 100A - A p + B p + 10B = (100A+10B) + (B-A)p.
Comparando coeficientes (constante e coeficiente de p):
\begin{cases} B-A=124,\\[4pt] 100A+10B=0. \end{cases}
Da segunda equação 10(10A+B)=0\] segue \(B=-10A. Substituindo na primeira:
-10A - A =124 \implies -11A=124 \implies A=-\frac{124}{11}.
Então
B=-10A=-10\left(-\frac{124}{11}\right)=\frac{1240}{11}.]

Passo 6

Portanto a decomposição é
\frac{124\,p}{(p+10)(100-p)}=-\frac{124}{11}\cdot\frac{1}{p+10}+\frac{1240}{11}\cdot\frac{1}{100-p}.
Agora integramos termo a termo. Sabendo que
\int\frac{1}{p+10}\,dp=\ln|p+10|,\qquad \int\frac{1}{100-p}\,dp=-\ln|100-p|,
temos uma primitiva
F(p)=-\frac{124}{11}\ln|p+10|-\frac{1240}{11}\big(-\ln|100-p|\big)=-\frac{124}{11}\ln|p+10|-\frac{1240}{11}(-\ln|100-p|).
Mais directamente, escrevemos
F(p)=-\frac{124}{11}\ln|p+10|-\frac{1240}{11}(-\ln|100-p|)= -\frac{124}{11}\ln|p+10|+\frac{1240}{11}\ln|100-p|.

Passo 7

Agora avaliamos a integral definida:
\begin{aligned} \int_{75}^{80}\frac{124\,p}{(p+10)(100-p)}\,dp &=F(80)-F(75)\\[4pt] &=-\frac{124}{11}\big(\ln(90)-\ln(85)\big)+\frac{1240}{11}\big(\ln(20)-\ln(25)\big). \end{aligned}
Agrupando logaritmos em razão:
\int_{75}^{80}\cdots = -\frac{124}{11}\ln\frac{90}{85}+\frac{1240}{11}\ln\frac{20}{25}.
Note que \displaystyle\frac{90}{85}=\frac{18}{17} e \displaystyle\frac{20}{25}=\frac{4}{5}. Fatorando \dfrac{124}{11}:
\int_{75}^{80}\cdots =\frac{124}{11}\Big(-\ln\frac{18}{17}+10\ln\frac{4}{5}\Big).
Reescrevendo com sinais convenientes:
\int_{75}^{80}\cdots =\frac{124}{11}\Big(-\ln\frac{18}{17}-10\ln\frac{4}{5}\Big)\quad\text{(note que \(\ln\frac{4}{5}<0\), por isso os sinais combinam)}.]

Passo 8

O custo médio é \displaystyle C_m=\frac{1}{5} vezes essa integral, logo
C_m=\frac{1}{5}\cdot\frac{124}{11}\Big(-\ln\frac{18}{17}-10\ln\frac{4}{5}\Big)=\frac{124}{55}\Big(-\ln\frac{18}{17}-10\ln\frac{4}{5}\Big).
Agora avaliando numericamente (usando logaritmo natural) obtemos
C_m\approx 4,902006551\quad\text{(em centenas de milhares de dólares).}ó
Isto significa aproximadamente \$490\,200{,}66.

Resposta

C_{m}=\frac{124}{55}\Big(-\ln\frac{18}{17}-10\ln\frac{4}{5}\Big)\approx 4,902006551

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