Questão 18 -

Um filme fino com índice de refração n=1,5 tem ar em ambos os lados. O filme é iluminado por luz branca que incide normalmente sobre ele. A análise da luz refletida mostra que os comprimentos de onda de 450 nm e 540 nm são os únicos comprimentos de onda ausentes na porção visível do espectro. Suponha que o alcance visível seja de 400 nm a 780 nm . A espessura do filme é:
a) 1200 nm .
b) 900 nm .
c) 840 nm .
d) 750 nm .
e) 680 nm .

Passo 1

O enunciado trata de interferência de filmagem delgada iluminada normalmente. Sabemos que para o filme com índice de refração n cercado por ar, há mudança de fase \pi na reflexão na face de entrada (ar→filme) e nenhuma na face de saída (filme→ar). Os comprimentos de onda ausentes na luz refletida satisfazem a condição de interferência destrutiva.

Passo 2

A diferença de caminho óptico entre os dois feixes refletidos é
\Delta = 2\,n\,d
e a mudança de fase extra de \pi leva à condição de interferência destrutiva quando
\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta + \pi = (2m+1)\,\pi.
Simplificando obtém-se
2\,n\,d = m\,\lambda,\quad m\in\mathbb{Z}.

Passo 3

No nosso caso n=1{,}5, logo
2\,n\,d = 3\,d = m\,\lambda \;\Longrightarrow\; d = \frac{m\,\lambda}{3}.

Passo 4

Como 450 nm e 540 nm são os únicos ausentes, existem inteiros m_1 e m_2 tais que
d = \frac{m_1\,(450\\ \text{nm})}{3} = 150\,m_1\\ \text{nm}, \qquad d = \frac{m_2\,(540\\ \text{nm})}{3} = 180\,m_2\\ \text{nm}.
Igualando:
150\,m_1 = 180\,m_2 \;\Longrightarrow\; 5\,m_1 = 6\,m_2 \;\Longrightarrow\; m_1=6k,\;m_2=5k,\;k\in\mathbb{N}.
Assim
d = 150\,(6k)\\ \text{nm} = 900\,k\\ \text{nm}.

Passo 5

Para a menor espessura positiva tomamos k=1, logo
d = 900\\ \text{nm}.

Resposta

900 nm.

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