Questão 23 -

Duas películas polarizadoras têm seus eixos de transmissão cruzados de tal modo que a luz não passa por elas. Uma terceira película é inserida entre as duas primeiras, de modo que seu eixo de transmissão faz um ângulo \theta com o da primeira película. Uma luz não-polarizada de intensidade \mathrm{l}_{0} incide sobre a primeira película. Se a película polarizadora central é girada com velocidade angular \omega em torno de um eixo paralelo ao feixe de luz, encontre a intensidade da luz transmitida através das três películas como uma função do tempo. Admita que \theta=0 no instante de tempo t=0.
a) I_{3}=\frac{I_{0}}{2} \operatorname{sen}(\omega t) \cos (\omega t).
b) I_{3}=\frac{I_{0}}{4} \operatorname{sen}^{2}(\omega t).
c) I_{3}=\frac{I_{0}}{4} \cos ^{2}(\omega t).
d) I_{3}=\frac{I_{0}}{8} \operatorname{sen}^{2}(2 \omega t).
e) I_{3}=\frac{I_{0}}{8} \cos ^{2}(2 \omega t).

Passo 1

O enunciado pede a intensidade da luz que sai de três películas polarizadoras em série, sendo que a primeira e a terceira têm eixos cruzados ( 90\circ entre si) e a do meio faz um ângulo \theta em relação à primeira. A luz é não polarizada de intensidade \,I_{0} e a película central gira com velocidade angular \omega, de modo que
\theta(t)=\omega t,\quad \theta(0)=0.
O conteúdo principal é a lei de Malus e a propriedade de que um polarizador ideal transmite metade da intensidade de luz não polarizada.

Passo 2

Quando luz não polarizada de intensidade \,I_{0} incide sobre a primeira película, a intensidade transmitida é metade:
I_{1}=\frac{I_{0}}{2}.

Passo 3

A segunda película está a um ângulo \theta em relação à primeira. Pela lei de Malus, a intensidade após a segunda é
I_{2}=I_{1}\cos^{2}\!\theta =\frac{I_{0}}{2}\cos^{2}\!\theta.

Passo 4

O eixo da terceira película está a 90\circ do eixo da primeira, logo o ângulo entre a segunda e a terceira é
\varphi=90^\circ-\theta.
Aplicando Malus de novo,
I_{3}=I_{2}\cos^{2}\!\varphi =\frac{I_{0}}{2}\cos^{2}\!\theta\;\cos^{2}(90^\circ-\theta) =\frac{I_{0}}{2}\cos^{2}\!\theta\;\sin^{2}\!\theta.

Passo 5

Usando a identidade \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, temos
\cos^{2}\!\theta\,\sin^{2}\!\theta =\frac{1}{4}\sin^{2}(2\theta).
Então
I_{3} =\frac{I_{0}}{2}\cdot\frac{1}{4}\sin^{2}(2\theta) =\frac{I_{0}}{8}\sin^{2}(2\theta).
Substituindo \theta=\omega t,
I_{3}(t) =\frac{I_{0}}{8}\sin^{2}(2\omega t).

Resposta

d) I_{3}=\displaystyle \frac{I_{0}}{8}\,\sin^{2}(2\omega t).

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