Questão 18 - No instante
, uma partícula está em repouso no plano x-y nas coordenadas
. Se a partícula for então submetida aos componentes de aceleração
e
, determine as coordenadas da posição da partícula quando
. Trace o caminho da partícula durante esse período de tempo.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar as coordenadas da partícula no instante
e (2) traçar (descrever) o caminho da partícula no intervalo
.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Passo 2
Entendimento do procedimento (sem resolver ainda): para obter posição a partir da aceleração variável no tempo, vamos integrar em duas etapas:
- integrar
para obter (constante de integração determinada por ), depois integrar para obter (constante determinada por );\n - fazer o mesmo para o eixo
: integrar → → , usando e .\n
Vou explicar cada integração passo a passo e calcular valores numéricos para.
Passo 3
Integração para o eixo
: primeiro obtenho
como antiderivada de
.
Regra usada: a antiderivada de
é
. Aplicando:
Constante
determinada por
. Assim
(Observação numérica:
.)
Passo 4
Agora integro
para obter
:
Calculando antiderivadas:
Portanto
Agora avalio em
:
Logo
Passo 5
Integração para o eixo
: primeiro obtenho
como antiderivada de
.
Aplicando a regra da antiderivada:
Usando
obtemos
. Simplificando coeficientes:
Para maior exatidão em frações:
e
, então
Passo 6
Agora integro
para obter
com
:
Calculando antiderivadas:
Portanto
Avalio em
:
Logo
Passo 7
Resumo paramétrico do caminho e como traçar: a trajetória é dada parametricamente por
Para “trazer à mão” o rastro, é útil calcular pontos em instantes
. Aqui estão os resultados (valores aproximados):
Interpretação do movimento (o que o rastro mostra): inicialmente
aumenta (vai para a direita) até um máximo por volta de
— esse instante é a raiz não nula de
— e depois
diminui, de modo que a partícula inverte a componente
do movimento e vai para a esquerda. A coordenada
cresce monotonamente no intervalo, então a partícula sobe enquanto primeiro vai para a direita e depois para a esquerda, descrevendo uma curva em “arco” ascendente. Para um traçado mais preciso use os pontos acima e ligue-os suavemente respeitando a forma suave das funções polinomiais.
Passo 8
Observações finais didáticas e rápida dica de prova: integrar polinômios é direto (aumenta-se o expoente e divide-se pelo novo expoente). Constantes de integração são fixadas pelas condições iniciais. Para saber quando a partícula muda de direção em
ou
basta ver onde
ou
. No enunciado, começar em repouso simplifica porque as constantes de velocidade são nulas.