Questão 18 - No instante \mathrm{t}=0, uma partícula está em repouso no plano x-y nas coordenadas \left(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}\right)=(6,0) \mathrm{m}. Se a partícula for então submetida aos componentes de aceleração \mathrm{a}_{x}=0,5-0,35 \mathrm{t} \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} e \mathrm{a}_{y}=0,15 \mathrm{t}-0,02 \mathrm{t}^{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine as coordenadas da posição da partícula quando t=6 \mathrm{~s}. Trace o caminho da partícula durante esse período de tempo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar as coordenadas da partícula no instante t=6\\ \mathrm{s} e (2) traçar (descrever) o caminho da partícula no intervalo 0\le t\le6\\ \mathrm{s}.\n
Informações fornecidas:
\text{posição inicial }(x_0,y_0)=(6,0)\\ \mathrm{m},çã
\text{velocidade inicial }v_{x}(0)=0,\quad v_{y}(0)=0\\ \mathrm{m/s},
a_x(t)=0{,}5-0{,}35\,t\\ \mathrm{m/s^2},
a_y(t)=0{,}15\,t-0{,}02\,t^{2}\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Entendimento do procedimento (sem resolver ainda): para obter posição a partir da aceleração variável no tempo, vamos integrar em duas etapas:
  1. integrar a_x(t) para obter v_x(t) (constante de integração determinada por v_x(0)=0), depois integrar v_x(t) para obter x(t) (constante determinada por x(0)=6);\n
  2. fazer o mesmo para o eixo y: integrar a_y(t) v_y(t) y(t), usando v_y(0)=0 e y(0)=0.\n
    Vou explicar cada integração passo a passo e calcular valores numéricos para t=6\\ \mathrm{s}.

Passo 3

Integração para o eixo x: primeiro obtenho v_x(t) como antiderivada de a_x(t).
a_x(t)=0{,}5-0{,}35\,t.
Regra usada: a antiderivada de ct^n é c\frac{t^{n+1}}{n+1}. Aplicando:
v_x(t)=\int a_x(t)\,dt=\int\left(0{,}5-0{,}35\,t\right)dt=0{,}5\,t-0{,}35\frac{t^{2}}{2}+C_x.
Constante C_x determinada por v_x(0)=0\Rightarrow C_x=0. Assim
v_x(t)=0{,}5\,t-0{,}175\,t^{2}.
(Observação numérica: 0{,}175=7/40.)

Passo 4

Agora integro v_x(t) para obter x(t):
x(t)=\int v_x(t)\,dt + x_0=\int\left(0{,}5\,t-0{,}175\,t^{2}\right)dt +6.
Calculando antiderivadas:
\int 0{,}5\,t\,dt=0{,}5\frac{t^{2}}{2}=\frac{1}{4}t^{2},
\int 0{,}175\,t^{2}\,dt=0{,}175\frac{t^{3}}{3}=\frac{7}{120}t^{3}.
Portanto
x(t)=\frac{1}{4}t^{2}-\frac{7}{120}t^{3}+6.
Agora avalio em t=6\\ \mathrm{s}:
\frac{1}{4}t^{2}=\frac{1}{4}\cdot 6^{2}=\frac{36}{4}=9,
\frac{7}{120}t^{3}=\frac{7}{120}\cdot 6^{3}=\frac{7}{120}\cdot 216=\frac{1512}{120}=12{,}6.
Logo
x(6)=9-12{,}6+6=2{,}4\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Integração para o eixo y: primeiro obtenho v_y(t) como antiderivada de a_y(t).
a_y(t)=0{,}15\,t-0{,}02\,t^{2}.
Aplicando a regra da antiderivada:
v_y(t)=\int a_y(t)\,dt=\int\left(0{,}15\,t-0{,}02\,t^{2}\right)dt=0{,}15\frac{t^{2}}{2}-0{,}02\frac{t^{3}}{3}+C_y.
Usando v_y(0)=0 obtemos C_y=0. Simplificando coeficientes:
v_y(t)=0{,}075\,t^{2}-0{,}006\overline{6}\,t^{3}.
Para maior exatidão em frações: 0{,}15=3/20 e 0{,}02=1/50, então
v_y(t)=\frac{3}{40}t^{2}-\frac{1}{150}t^{3}.

Passo 6

Agora integro v_y(t) para obter y(t) com y(0)=0:
y(t)=\int v_y(t)\,dt=\int\left(\frac{3}{40}t^{2}-\frac{1}{150}t^{3}\right)dt.
Calculando antiderivadas:
\int \frac{3}{40}t^{2}dt=\frac{3}{40}\cdot\frac{t^{3}}{3}=\frac{1}{40}t^{3},
\int \frac{1}{150}t^{3}dt=\frac{1}{150}\cdot\frac{t^{4}}{4}=\frac{1}{600}t^{4}.
Portanto
y(t)=\frac{1}{40}t^{3}-\frac{1}{600}t^{4}.
Avalio em t=6\\ \mathrm{s}:
\frac{1}{40}t^{3}=\frac{1}{40}\cdot 216=5{,}4,
\frac{1}{600}t^{4}=\frac{1}{600}\cdot 1296=2{,}16.
Logo
y(6)=5{,}4-2{,}16=3{,}24\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Resumo paramétrico do caminho e como traçar: a trajetória é dada parametricamente por
x(t)=\frac{1}{4}t^{2}-\frac{7}{120}t^{3}+6,\qquad y(t)=\frac{1}{40}t^{3}-\frac{1}{600}t^{4},\qquad 0\le t\le6.
Para “trazer à mão” o rastro, é útil calcular pontos em instantes t=0,1,2,3,4,5,6. Aqui estão os resultados (valores aproximados):
\begin{array}{l} t=0:\\ (x,y)=(6{,}000,\\\ 0{,}000)\\\ t=1:\\ (x,y)\approx(6{,}1917,\\\ 0{,}02333)\\\ t=2:\\ (x,y)\approx(6{,}5333,\\\ 0{,}17333)\\\ t=3:\\ (x,y)\approx(6{,}6750,\\\ 0{,}5400)\\\ t=4:\\ (x,y)\approx(6{,}2667,\\\ 1{,}1733)\\\ t=5:\\ (x,y)\approx(4{,}9583,\\\ 2{,}0833)\\\ t=6:\\ (x,y)=(2{,}4,\\\ 3{,}24) \end{array}
Interpretação do movimento (o que o rastro mostra): inicialmente x aumenta (vai para a direita) até um máximo por volta de t\approx 2{,}857\\ \mathrm{s} — esse instante é a raiz não nula de v_x(t)=0 — e depois x diminui, de modo que a partícula inverte a componente x do movimento e vai para a esquerda. A coordenada y cresce monotonamente no intervalo, então a partícula sobe enquanto primeiro vai para a direita e depois para a esquerda, descrevendo uma curva em “arco” ascendente. Para um traçado mais preciso use os pontos acima e ligue-os suavemente respeitando a forma suave das funções polinomiais.

Passo 8

Observações finais didáticas e rápida dica de prova: integrar polinômios é direto (aumenta-se o expoente e divide-se pelo novo expoente). Constantes de integração são fixadas pelas condições iniciais. Para saber quando a partícula muda de direção em x ou y basta ver onde v_x(t)=0 ou v_y(t)=0. No enunciado, começar em repouso simplifica porque as constantes de velocidade são nulas.

Resposta

(2{,}4\\ \mathrm{m},\\\ 3{,}24\\ \mathrm{m})
\text{Caminho: }x(t)=\frac{1}{4}t^{2}-\frac{7}{120}t^{3}+6,\quad y(t)=\frac{1}{40}t^{3}-\frac{1}{600}t^{4},\quad 0\le t\le6.

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