Questão 18 (ITA-05) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 2 tais que A B=B A e que satisfazem à equação matricial A^{2}+2 A B-B=O_{2}. Se B é uma matriz inversível, mostre que A é uma matriz inversível e determine A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem 2, A e B, que comutam AB=BA, satisfazem
A^{2}+2AB - B = O_{2}
e B é inversível. O que precisamos mostrar é que A também é inversível e determinar sua inversa usando manipulação de polinômios matriciais e a comutatividade.

Passo 2

Como AB=BA e B é inversível, segue que A comuta com B^{-1}. Então podemos multiplicar a equação
A^{2}+2AB - B = O_{2}
à direita por B^{-1} sem alterar a ordem dos fatores. Obtemos
A^{2}B^{-1} \;+\;2A \;-\; I_{2} \;=\; O_{2},
isto é,
A^{2}B^{-1} + 2A = I_{2}.

Passo 3

Note que A^{2}B^{-1} = A\,(A B^{-1}). Defina
X = A\,B^{-1}.
Substituindo na igualdade acima dá
A\,X + 2A = I_{2},
ou seja
A\,(X + 2I_{2}) = I_{2}.

Passo 4

Como A comuta com B^{-1}, também comuta com X = AB^{-1} e, portanto, com X+2I_{2}. Isso garante que X+2I_{2} é tanto inverso à direita quanto inverso à esquerda de A. Logo, A é inversível e
A^{-1} = X + 2I_{2}.

Resposta

\boxed{A^{-1} \;=\; A\,B^{-1} \;+\; 2\,I_{2} \quad\text{(equivalente a }\;(A+2B)B^{-1}\text{).}}

Exercícios relacionados