A fórmula explícita de c_{n} para todo n\in\mathbb{N}.
O numerador é (-1)^{n}n! e o denominador é o produto dos n primeiros números ímpares 1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1).
Não se resolve nada neste passo; apenas identificamos o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Vou analisar o módulo (valor absoluto) dos termos, porque o sinal alternado (-1)^n não afeta se a sequência tende a zero. Escrevo:
|c_{n}|=\frac{n!}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}.
Uma ideia muito útil é olhar a razão entre termos consecutivos em módulo:
Para cada fator do produto, pela escolha de N temos \left|\frac{a_{N+j+1}}{a_{N+j}}\right|<r. Assim
|a_{N+k}|\le |a_N|\,r^{k}.
Como 0<r<1, a sequência geométrica r^k tende a zero quando k\to\infty. Logo |a_{N+k}|\to 0 e portanto a_n\to 0 quando n\to\infty.
Isso conclui a prova do lema.
Pelo argumento do passo anterior, isso implica que |c_n|\to 0 quando n\to\infty.
Passo 6
Como |c_n|\to 0, necessariamente c_n\to 0 (o fato de os termos alternarem de sinal por (-1)^n não impede a convergência para zero). Portanto concluímos o resultado pedido.