Questão 18. Seja
c_{n}=\frac{(-1)^{n} \cdot n!}{1.3 .5 \ldots(2 n-1)}
Prove que \lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=0.

Passo 1

O enunciado define a sequência
c_{n}=\frac{(-1)^{n}\,n!}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}
e pede para provar que
\lim_{n\to\infty} c_{n}=0.
Informações dadas que vamos usar diretamente:
  • A fórmula explícita de c_{n} para todo n\in\mathbb{N}.
  • O numerador é (-1)^{n}n! e o denominador é o produto dos n primeiros números ímpares 1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1).
    Não se resolve nada neste passo; apenas identificamos o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Vou analisar o módulo (valor absoluto) dos termos, porque o sinal alternado (-1)^n não afeta se a sequência tende a zero. Escrevo:
|c_{n}|=\frac{n!}{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}.
Uma ideia muito útil é olhar a razão entre termos consecutivos em módulo:
\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right| =\frac{(n+1)!}{1\cdot3\cdots(2n-1)\cdot(2n+1)}\cdot\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{n!} =\frac{n+1}{2n+1}.

Passo 3

Calculo o limite da razão encontrada. Dividindo numerador e denominador por n,
\frac{n+1}{2n+1}=\frac{1+\tfrac{1}{n}}{2+\tfrac{1}{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{1}{2}.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right|=\frac{1}{2}<1.

Passo 4

Agora apresento um resultado geral que vou usar (e o demonstro de maneira curta e didática): se uma sequência (a_n) satisfaz
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L\quad\text{com}\quad L<1,
então \lim_{n\to\infty} a_n=0.
Prova do resultado (explicada passo a passo):
  • Como L<1, escolha um número r tal que L<r<1. Isso é possível porque há sempre números entre L e 1.
  • Pela definição de limite, existe N tal que para todo n\ge N vale
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<r.
  • Para k\ge 0 escrevemos por telescopia
|a_{N+k}|=|a_N|\prod_{j=0}^{k-1}\left|\frac{a_{N+j+1}}{a_{N+j}}\right|.
  • Para cada fator do produto, pela escolha de N temos \left|\frac{a_{N+j+1}}{a_{N+j}}\right|<r. Assim
|a_{N+k}|\le |a_N|\,r^{k}.
  • Como 0<r<1, a sequência geométrica r^k tende a zero quando k\to\infty. Logo |a_{N+k}|\to 0 e portanto a_n\to 0 quando n\to\infty.
    Isso conclui a prova do lema.

Passo 5

Aplicando o lema ao nosso caso: já mostramos que
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right|=\frac{1}{2}<1.
Pelo argumento do passo anterior, isso implica que |c_n|\to 0 quando n\to\infty.

Passo 6

Como |c_n|\to 0, necessariamente c_n\to 0 (o fato de os termos alternarem de sinal por (-1)^n não impede a convergência para zero). Portanto concluímos o resultado pedido.

Resposta

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