\iiint_{W} 8 z d V sendo W a região limitada por z=2 x^{2}+2 y^{2}-4 e z=5-x{2}-y{2} no primeiro octante.
Passo 1
Enunciado e o que se pede (explicitação completa, sem resolver ainda):
Foi dada a integral tripla
\iiint_{W} 8z\,dV
onde W é “a região limitada por z=2x^{2}+2y^{2}-4 e z=5-x^{2}-y^{2} no primeiro octante”.
Pergunta implícita: calcular o volume integral da função 8z sobre a região W.
Informações relevantes dadas no enunciado:
Superfície inferior: z=2x^{2}+2y^{2}-4.
Superfície superior: z=5-x^{2}-y^{2}.
Restrição: “no primeiro octante”, ou seja x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
A região W é, portanto, a porção do espaço em que x,y,z satisfazem as três condições acima e ficam entre as duas superfícies (mas lembrando que a condição z\ge0 também pode cortar a região se a superfície inferior estiver abaixo de zero).
Passo 2
Escolha de sistema de coordenadas e por quê (explicação didática):
Observando as equações das superfícies, ambas dependem apenas de x^{2}+y^{2}, ou seja, têm simetria circular em torno do eixo z. Sempre que aparece x^{2}+y^{2} é um sinal forte de que coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) tornam o cálculo mais simples.
Em coordenadas cilíndricas usamos as substituições:x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2},e o elemento de volume édV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Na integral a integrando 8z fica 8z (não muda) e aparece o fator extra r do dV.
Também, “primeiro octante” corresponde a \theta variando de 0 a \frac{\pi}{2} (pois x\ge0,y\ge0) e z\ge0.
Passo 3
Interseção das superfícies (onde se tocam) — limite radial da região entre elas:
Igualamos as superfícies para achar a curva de interseção:2r^{2}-4 = 5 - r^{2}.
Para 0\le r<\sqrt{2} a superfície inferior dá z<0, ou seja, estaria fora do primeiro octante; nesse caso, a face que limita por baixo é o plano z=0.
Para \sqrt{2}\le r\le\sqrt{3} a superfície inferior está com z\ge0 e então o trecho entre as duas parábolas existe com fundo dado por z=2r^{2}-4.
Conclusão: devemos separar a integral em duas partes radiais:
parte A: 0\le r\le\sqrt{2}, z vai de 0 até 5-r^{2};
parte B: \sqrt{2}\le r\le\sqrt{3}, z vai de 2r^{2}-4 até 5-r^{2}.
Em \theta sempre 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.
Passo 5
Escrever a integral em coordenadas cilíndricas e separar conforme o item anterior:
A integral total I é soma das duas partes:I=\int_{\theta=0}^{\pi/2}\left[\int_{r=0}^{\sqrt{2}}\int_{z=0}^{5-r^{2}} 8z\,(r\,dz\,dr) + \int_{r=\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\int_{z=2r^{2}-4}^{5-r^{2}} 8z\,(r\,dz\,dr)\right]d\theta.
Factoremos o que for conveniente (por exemplo constantes e o fator r) ao integrar em z primeiro.
Passo 6
Integração em z (primeiro passo efetivo do cálculo) — explicando a antiderivada usada:
Para integrar em z usamos que a primitiva de 8z em relação a z é 4z^{2}, pois \frac{d}{dz}(4z^{2})=8z.
Assim, a integral interna em z dá:
Para a parte A (0\le r\le\sqrt{2}):\int_{0}^{5-r^{2}} 8z\,dz = \left.4z^{2}\right|_{0}^{5-r^{2}} = 4(5-r^{2})^{2}.Multiplicando pelo r que vem de dV, a contribuição em r é 4r(5-r^{2})^{2}.
Para a parte B (\sqrt{2}\le r\le\sqrt{3}):\int_{2r^{2}-4}^{5-r^{2}} 8z\,dz = 4\bigl[(5-r^{2})^{2} - (2r^{2}-4)^{2}\bigr],e multiplicando pelo r vem 4r\bigl[(5-r^{2})^{2} - (2r^{2}-4)^{2}\bigr].
Portanto, ao integrar em z a integral reduz-se a integrais em r e \theta.
Passo 7
Integração em \theta (fácil) e mudança de variável para integrar em r (truque útil):
Como nada depende de \theta depois de integrar em z, a integral em \theta simplesmente multiplica por \frac{\pi}{2}:I = \frac{\pi}{2}\left[\int_{0}^{\sqrt{2}} 4r(5-r^{2})^{2}\,dr + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 4r\bigl((5-r^{2})^{2}-(2r^{2}-4)^{2}\bigr)\,dr\right].
Para integrar expressões do tipo r vezes função de r^{2}, é prático usar a troca u=r^{2}. Explico:
Defina u=r^{2}. Então du = 2r\,dr, ou seja r\,dr = \frac{1}{2}\,du.
Os limites em r se transformam: quando r=0 então u=0; quando r=\sqrt{2} então u=2; quando r=\sqrt{3} então u=3.
Aplicando essa mudança, tornamos integrais em polinômios simples em u.
Passo 8
Calcular a primeira integral (detalhando todas as contas):
Primeiro termo:\int_{0}^{\sqrt{2}} 4r(5-r^{2})^{2}\,dr = 4\int_{0}^{\sqrt{2}} r(5-r^{2})^{2}\,dr.
Com u=r^{2} e r\,dr = \tfrac{1}{2}du, isso vira4\cdot \frac{1}{2}\int_{u=0}^{2} (5-u)^{2}\,du = 2\int_{0}^{2} (5-u)^{2}\,du.
Expandindo ou integrando diretamente:(5-u)^{2}=u^{2}-10u+25.