\iiint_{W} 8 z d V sendo W a região limitada por z=2 x^{2}+2 y^{2}-4 e z=5-x{2}-y{2} no primeiro octante.

Passo 1

Enunciado e o que se pede (explicitação completa, sem resolver ainda):
  • Foi dada a integral tripla
\iiint_{W} 8z\,dV
onde W é “a região limitada por z=2x^{2}+2y^{2}-4 e z=5-x^{2}-y^{2} no primeiro octante”.
  • Pergunta implícita: calcular o volume integral da função 8z sobre a região W.
  • Informações relevantes dadas no enunciado:
    • Superfície inferior: z=2x^{2}+2y^{2}-4.
    • Superfície superior: z=5-x^{2}-y^{2}.
    • Restrição: “no primeiro octante”, ou seja x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
    • A região W é, portanto, a porção do espaço em que x,y,z satisfazem as três condições acima e ficam entre as duas superfícies (mas lembrando que a condição z\ge0 também pode cortar a região se a superfície inferior estiver abaixo de zero).

Passo 2

Escolha de sistema de coordenadas e por quê (explicação didática):
  • Observando as equações das superfícies, ambas dependem apenas de x^{2}+y^{2}, ou seja, têm simetria circular em torno do eixo z. Sempre que aparece x^{2}+y^{2} é um sinal forte de que coordenadas cilíndricas (r, \theta,z) tornam o cálculo mais simples.
  • Em coordenadas cilíndricas usamos as substituições: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2},e o elemento de volume é dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
  • Na integral a integrando 8z fica 8z (não muda) e aparece o fator extra r do dV.
  • Também, “primeiro octante” corresponde a \theta variando de 0 a \frac{\pi}{2} (pois x\ge0,y\ge0) e z\ge0.

Passo 3

Interseção das superfícies (onde se tocam) — limite radial da região entre elas:
  • Igualamos as superfícies para achar a curva de interseção: 2r^{2}-4 = 5 - r^{2}.
  • Resolvendo: 2r^{2}-4 = 5 - r^{2} \implies 3r^{2} = 9 \implies r^{2}=3 \implies r=\sqrt{3}.
  • Na interseção o valor de z é z = 2r^{2}-4 = 2\cdot 3 -4 = 6-4 = 2.(ou equivalentemente z=5-r^{2}=5-3=2.)

Passo 4

Análise do efeito do plano z=0 (porque estamos no primeiro octante) — onde a superfície inferior fica abaixo de z=0:
  • A superfície inferior z=2r^{2}-4 cruza z=0 quando 2r^{2}-4 = 0 \implies r^{2}=2 \implies r=\sqrt{2}.
  • Interpretando geometricamente:
    • Para 0\le r<\sqrt{2} a superfície inferior dá z<0, ou seja, estaria fora do primeiro octante; nesse caso, a face que limita por baixo é o plano z=0.
    • Para \sqrt{2}\le r\le\sqrt{3} a superfície inferior está com z\ge0 e então o trecho entre as duas parábolas existe com fundo dado por z=2r^{2}-4.
  • Conclusão: devemos separar a integral em duas partes radiais:
    • parte A: 0\le r\le\sqrt{2}, z vai de 0 até 5-r^{2};
    • parte B: \sqrt{2}\le r\le\sqrt{3}, z vai de 2r^{2}-4 até 5-r^{2}.
  • Em \theta sempre 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas cilíndricas e separar conforme o item anterior:
  • A integral total I é soma das duas partes: I=\int_{\theta=0}^{\pi/2}\left[\int_{r=0}^{\sqrt{2}}\int_{z=0}^{5-r^{2}} 8z\,(r\,dz\,dr) + \int_{r=\sqrt{2}}^{\sqrt{3}}\int_{z=2r^{2}-4}^{5-r^{2}} 8z\,(r\,dz\,dr)\right]d\theta.
  • Factoremos o que for conveniente (por exemplo constantes e o fator r) ao integrar em z primeiro.

Passo 6

Integração em z (primeiro passo efetivo do cálculo) — explicando a antiderivada usada:
  • Para integrar em z usamos que a primitiva de 8z em relação a z é 4z^{2}, pois \frac{d}{dz}(4z^{2})=8z.
  • Assim, a integral interna em z dá:
    • Para a parte A ( 0\le r\le\sqrt{2}): \int_{0}^{5-r^{2}} 8z\,dz = \left.4z^{2}\right|_{0}^{5-r^{2}} = 4(5-r^{2})^{2}.Multiplicando pelo r que vem de dV, a contribuição em r é 4r(5-r^{2})^{2}.
    • Para a parte B ( \sqrt{2}\le r\le\sqrt{3}): \int_{2r^{2}-4}^{5-r^{2}} 8z\,dz = 4\bigl[(5-r^{2})^{2} - (2r^{2}-4)^{2}\bigr],e multiplicando pelo r vem 4r\bigl[(5-r^{2})^{2} - (2r^{2}-4)^{2}\bigr].
  • Portanto, ao integrar em z a integral reduz-se a integrais em r e \theta.

Passo 7

Integração em \theta (fácil) e mudança de variável para integrar em r (truque útil):
  • Como nada depende de \theta depois de integrar em z, a integral em \theta simplesmente multiplica por \frac{\pi}{2}: I = \frac{\pi}{2}\left[\int_{0}^{\sqrt{2}} 4r(5-r^{2})^{2}\,dr + \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 4r\bigl((5-r^{2})^{2}-(2r^{2}-4)^{2}\bigr)\,dr\right].
  • Para integrar expressões do tipo r vezes função de r^{2}, é prático usar a troca u=r^{2}. Explico:
    • Defina u=r^{2}. Então du = 2r\,dr, ou seja r\,dr = \frac{1}{2}\,du.
    • Os limites em r se transformam: quando r=0 então u=0; quando r=\sqrt{2} então u=2; quando r=\sqrt{3} então u=3.
  • Aplicando essa mudança, tornamos integrais em polinômios simples em u.

Passo 8

Calcular a primeira integral (detalhando todas as contas):
  • Primeiro termo: \int_{0}^{\sqrt{2}} 4r(5-r^{2})^{2}\,dr = 4\int_{0}^{\sqrt{2}} r(5-r^{2})^{2}\,dr.
  • Com u=r^{2} e r\,dr = \tfrac{1}{2}du, isso vira 4\cdot \frac{1}{2}\int_{u=0}^{2} (5-u)^{2}\,du = 2\int_{0}^{2} (5-u)^{2}\,du.
  • Expandindo ou integrando diretamente: (5-u)^{2}=u^{2}-10u+25.
\int_{0}^{2} (u^{2}-10u+25)\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}-5u^{2}+25u\right]_{0}^{2}.
  • Avaliando em u=2: \frac{8}{3} - 5\cdot 4 + 25\cdot 2 = \frac{8}{3} -20 +50 = \frac{8}{3} +30 = \frac{98}{3}.
  • Multiplicando por 2 (o fator à frente) obtemos a contribuição: \text{(primeira integral)} = 2\cdot \frac{98}{3} = \frac{196}{3}.

Passo 9

Calcular a segunda integral (detalhando todas as contas):
  • Segundo termo: \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} 4r\bigl((5-r^{2})^{2}-(2r^{2}-4)^{2}\bigr)\,dr = 4\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{3}} r\bigl((5-r^{2})^{2}-(2r^{2}-4)^{2}\bigr)\,dr.
  • Com u=r^{2} e r\,dr=\tfrac{1}{2}du, os limites u:2\to3, e o fator 4 vira 2 após o 1/2: 2\int_{2}^{3}\bigl((5-u)^{2}-(2u-4)^{2}\bigr)\,du.
  • Calcule o integrando: (5-u)^{2} = u^{2}-10u+25,
(2u-4)^{2} = 4u^{2}-16u+16,
(5-u)^{2}-(2u-4)^{2} = -3u^{2}+6u+9.
  • Integrando: \int_{2}^{3}(-3u^{2}+6u+9)\,du = \left[-u^{3}+3u^{2}+9u\right]_{2}^{3}.
  • Avaliando:
    • Em u=3: -27+27+27=27.
    • Em u=2: -8+12+18=22.
    • Diferença: 27-22=5.
  • Multiplicando pelo fator 2 que estava na frente: \text{(segunda integral)} = 2\cdot 5 = 10.

Passo 10

Juntar as contribuições, aplicar o fator de \theta e simplificar (até quase o final; o resultado final será apresentado só na seção

Resposta

\displaystyle \frac{113\pi}{3}

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